Уравнения в полных дифференциалах
Допустим, что левая часть дифференциального уравнения
(1)
является полным дифференциалом некоторой функции :
.
Тогда если есть решение дифференциального уравнения (1), то , откуда следует, что . Обратно, если дифференцируемая функция такова, что при некотором , то есть решение дифференциального уравнения (1). Следовательно,
есть общий интеграл дифференциального уравнения (1). Если даны начальные условия , то определяется равенством , и является искомым частным интегралом.
Для того чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции, необходимо и достаточно (для ), чтобы . Поэтому уравнение с разделенными переменными есть уравнение в полных дифференциалах.
Уравнение в полных дифференциалах легко интегрируется. Действительно, если
, то .
Пусть . Тогда . Для определения функции дифференцируем это равенство по и получаем
Из полученного уравнения определяем и, интегрируя, находим .
Пример1. Найти общий интеграл уравнения
. (2)
Решение. Так как , это уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Имеем , откуда . Тогда . Следовательно, , и, тем самым, . Значит
. Таким образом, общий интеграл дифференциального уравнения (2) есть .
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Поиск по сайту:
|