АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Уравнения в полных дифференциалах

Читайте также:
  1. VI Дифференциальные уравнения
  2. Алгебраические уравнения
  3. Волновое уравнение и его решение. Физический смысл волнового уравнения. Скорость распространения волн в различных средах.
  4. Вопрос 24 поверхности второго порядка (эллипсоид, цилиндры, конус) и их канонически уравнения. Исследование формы поверхности методом параллельных сечений.
  5. Геометрическая оптика.отражение и преломление света. законы отражения и преломления.Зеркала и линзы.Уравнения для зеркал и линз.оптические приборы.
  6. Геометрический образ уравнения состояния.
  7. Дети из неполных семей
  8. Дифференциальные уравнения 1 порядка с разделяющимися переменными
  9. Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости. Граничные условия.
  10. Дифференциальные уравнения и передаточные функции замкнутых систем управления
  11. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
  12. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Допустим, что левая часть дифференциального уравнения

 

(1)

является полным дифференциалом некоторой функции :

.

Тогда если есть решение дифференциального уравнения (1), то , откуда следует, что . Обратно, если дифференцируемая функция такова, что при некотором , то есть решение дифференциального уравнения (1). Следовательно,

есть общий интеграл дифференциального уравнения (1). Если даны начальные условия , то определяется равенством , и является искомым частным интегралом.

Для того чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции, необходимо и достаточно (для ), чтобы . Поэтому уравнение с разделенными переменными есть уравнение в полных дифференциалах.

Уравнение в полных дифференциалах легко интегрируется. Действительно, если

, то .

Пусть . Тогда . Для определения функции дифференцируем это равенство по и получаем

Из полученного уравнения определяем и, интегрируя, находим .

Пример1. Найти общий интеграл уравнения

. (2)

Решение. Так как , это уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Имеем , откуда . Тогда . Следовательно, , и, тем самым, . Значит


. Таким образом, общий интеграл дифференциального уравнения (2) есть .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)