 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Теоретические сведения. Колебания - это процесс, который повторяется со временем
Колебания - это процесс, который повторяется со временем. В механике примером колебаний является колебательное движение маятников, который представляет собой периодическое отклонение маятника от положения равновесия то в одну, то в другую сторону. При этом происходят также периодические изменения скорости, ускорения, кинетической и потенциальной энергии маятника.
Колебания, которые происходят только под действием внутренних сил колебательной системы, называются свободными. Если при этом в системе отсутствуют силы трения, то энергия системы со временем не меняется и колебания являются незатухающими.
Рассмотрим свободные незатухающие колебания физического маятника. Физическим маятником называется тело произвольной формы, способно совершать колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси ОО', которая не проходит через центр тяжести этого тела С (рис. 1).
 |
Рис. 1.
При отклонении маятника от положения равновесия возникает крутящий момент М силы тяжести, который пытается вернуть маятник к положению равновесия:
,
где m - масса тела, g -ускорение свободного падения, l -расстояние между точкой подвеса О и центром притяжения С, α - угловое смещение маятника. Знак "-" указывает на то, что поворачивающий момент направлен против углового перемещения α.
При малых углах отклонения 
, поэтому крутящий момент равен:
(1)
Если действием моментов сил трения пренебречь, то из основного уравнения динамики вращательного движения:
, (2)
где І - момент инерции тела относительно оси 00', а ε - угловое ускорение, равное:
получим уравнения движения физического маятника:
Запишем это уравнение в другой форме
(3)
Величина 
имеет размерность циклической частоты в квадрате, поэтому введем обозначения:
(4)
Тогда окончательно получим дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний физического маятника:
(5)
Решением этого уравнения является функция
, (6)
где α(t) - угловое смещение маятника относительно положения равновесия в произвольный момент времени; αm - амплитуда колебаний, модуль максимального смещения от положения равновесия. Амплитуда свободных незатухающих колебаний определяется начальными условиями; ω0 - собственная циклическая частота, это количество колебаний за 2π секунд. Как видно из уравнения (4) собственная частота определяется параметрами колебательной системы; величину, стоящую под знаком косинуса называют фазой колебаний:
,
где φ0 – начальная фаза, α(t) - угловое смещение маятника относительно положения равновесия в произвольный момент времени; αm - амплитуда колебаний, модуль максимального смещения от положения равновесия. Амплитуда свободных незатухающих колебаний определяется начальными условиями; ω0 - собственная циклическая частота, это количество колебаний за 2π секунд. Как видно из уравнения (4) собственная частота определяется параметрами колебательной системы; величину, стоящую под знаком косинуса называют фазой колебаний
, (7)
а с учетом (4) период малых свободных колебаний физического маятника равна:
(8)
График свободных незатухающих колебаний представлен на рис. 2.
Рис. 2.
Поиск по сайту: