Теоретические сведения. Пружинным маятником называют систему, состоящую из небольшого тела массой m, подвешенного на вертикальной пружине жесткостью k

Пружинным маятником называют систему, состоящую из небольшого тела массой m, подвешенного на вертикальной пружине жесткостью k, второй конец которой закреплен. Массой пружины пренебрегают (рис. 1).

В положении равновесия (x = 0) сила тяжести, действующая на шарик уравновешивается силой упругости:

, (1)

где - удлинение пружины в состоянии равновесия.

Рис. 1.

При смещении тела от положения равновесия сила упругости будет больше или меньше силу тяжести и их равнодействующая F будет направлена к положению равновесия, а ее модуль равен:

(2)

По закону Гука:

, (3)

где x – смещение системы от положения равновесия, - величина деформации пружины, знак "-" свидетельствует о том, что сила упругости по направлению противоположна деформации.

Подставим в формулу (2) выражения (3) и (1) и получим:

(4)

Равнодействующая сил упругости и тяжести пропорциональна смещению x и направлена к положению равновесия, то является возвращающей силой, под действием которой в системе происходят свободные колебания.

Кроме возвращающей силы F на систему действует сила сопротивления среды, в которой она находится:

, (5)

где r – коэффициент сопротивления, – скорость системы. Знак "-" свидетельствует о том, что сила сопротивления направлена против скорости.

Запишем закон динамики для движения тела:

(6)

Подставим в это уравнение выражение для скорости и ускорения и получим:

Разделим уравнение на m и введем обозначения:

(7)

, (8)

где r, m, k – параметры пружинного маятника.

Тогда окончательно дифференциальное уравнение затухающих колебаний будет иметь вид:

. (9)

Решением этого уравнения является функція

. (10)

Свободные колебания пружинного маятника является затухающими с амплитудой , и частотой ; где - собственная частота колебаний пружинного маятника.

По формуле связи между периодом и частотой получим выражение для периода колебаний пружинного маятника:

. (11)

Логарифмический декремент затухания, характеризующий уменьшение амплитуды за период колебаний, равен:

. (12)

Из уравнений (7), (11), (12) видно, что коэффициент затухания, период, логарифмический декремент затухания зависят от параметров системы.

Поиск по сайту: