Метод моментов

В математической статистике — это один из первых общих методов нахождений оценок неизвестных параметров по результатам наблюдений. Карл Пирсон использовал его при решении задачи аппроксимации эмпирических распределений с помощью системы распределений Пирсона в 1894 году.

Так как в силу теоремы Гливенко эмпирическая функция распределения близка в равномерной метрике к , то естественно предполагать, что выборочные моменты, вычисленные по эмпирической функции распределения, будут близки к соответствующим теоретическим.

Именно на этом и основан метод моментов. И так, пусть выборка объема из параметрического семейства распределений , где . Выберем некоторую борелевскую функцию , такую чтобы существовал момент

и к тому же, что бы существовала функция , обратная к функции в области . В качестве оценки метода моментов для истинного значения неизвестного параметра возьмем решение уравнения

,

то есть в качестве оценки мы выбираем такое число, чтобы теоретический момент совпадал с выборочным при данной реализации выборки.

Чаще всего в качестве функции выбирают , то есть начальные теоретические моменты приравниваются к соответствующим выборочным. Понятно, что, если параметр одномерный, то достаточно одного уравнения. Если же параметр –мерный, то необходимо решить систему уравнений.

Пример. Дана выборка из распределения с плотностью , , . Найти методом моментов оценку для параметра .

Решение. Вычислим математическое ожидание . Оценку найдем как решение уравнения . Таким образом, оценка метода моментов в данном случае имеет вид .

Замечание. В том случае, если корень уравнения , в то время как . Тогда оценку необходимо откорректировать. Для этого в качестве оценки метода моментов берут ближайшую к точку из или его замыкания.

Пример. Дана выборка из нормального распределения с параметрами с неотрицательным средним . В этом случае оценка метода моментов для неизвестного среднего имеет вид . На практике может случиться так, что , поэтому в таком случае в качестве оценки метода моментов разумнее выбрать 0. Следовательно, скорректированная оценка метода моментов имеет вид .

Замечание. Оценки метода моментов определяются неоднозначно. Вообще говоря, выбирая различные функции , получим разные оценки для неизвестного параметра .

Теорема.

Пусть — оценка метода моментов неизвестного параметра, причем функция непрерывна. Тогда сильно состоятельна.

Доказательство. Согласно теореме Колмогорова (усиленный закон больших чисел для одинаково распределенных случайных величин)

.

Поскольку функция непрерывна, то и

.

Поиск по сайту: