АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Характеристические функции

Читайте также:
  1. II. Функции тахографа и требования к его конструкции
  2. MS Excel.Текстовые функции, примеры использования текстовых функций.
  3. SCADA-система: назначение и функции
  4. V2: Электронные таблицы. Встроенные функции.
  5. А) Рабочее место б) Функции
  6. Автоматическая настройка УОЗ на атмосферном двигателе с помощью функции замеров ускорения.
  7. Активный и пассивный словарь. Историзмы и архаизмы. Типы архаизмов. Стилистические функции.
  8. Анатомия пищев.канала: отделы,сфинктеры и клапаны,их положение,строение и значение для пищев.функции.
  9. Антонимы. Типы антонимов. Антонимия и полисемия. Стилистические функции антонимов (антитеза, антифразис, амфитеза, астеизм, оксюморон и т.д.). Энантиосемия. Словари антонимов.
  10. Банки и банковская система. Центральный банк, его функции
  11. Биогенные амины,происхождение,функции
  12. Булевы функции.

Определение. Характеристической функцией случайной величины называется комплекснозначная функция, определенная при соотношением

. (1)

Пусть — функция распределения случайной величины, тогда формулу (15.1) можно записать в виде

.

В случае существования плотности случайной величины эту формулу можно переписать следующим образом

. (2)

Непосредственно из определения вытекают свойства характеристической функции:

1) , для всех действительных .

2) .

3) — равномерно непрерывная функция на всей числовой оси.

4) Характеристическая функция положительно определена, т.е. для любых действительных чисел и любых комплексных чисел .

5) Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.

Действительно, пусть — характеристическая функция случайной величины , — случайной величины , тогда характеристическая функция их суммы равна

.

6) Если , где и — некоторые постоянные, то .

Не сложно видеть, что .

7) Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины.

Если случайная величина абсолютно непрерывна, выражение (2) есть преобразование Фурье функции . Для абсолютно непрерывной величины плотность восстанавливается по ее характеристической функции следующим образом:

.

Зная характеристическую функцию дискретной целочисленной случайной величины , такой что , можно восстановить ее распределение. Не трудно видеть, что справедливы равенства:

В силу того, что , имеем

.

Таким образом, закон распределения восстановлен.

Еще одно важное свойство характеристических функций сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Если существует абсолютный начальный момент порядка , то функция имеет непрерывных производных и справедливо равенство

.

При этом имеет место соотношение

, (3)

здесь и при .

Доказательство. В силу того, что , интеграл равномерно сходится по . Следовательно

, .

Далее, используя метод математической индукции, получим требуемое в теореме равенство

.

Запишем разложение функции в ряд Тейлора в окрестности нуля с остаточным членом в форме Лагранжа

,

здесь , . Поэтому

.

Таким образом,

,

где . Не трудно видеть, что . Из теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла следует, что при .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)