|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Характеристические функцииОпределение. Характеристической функцией случайной величины называется комплекснозначная функция, определенная при соотношением . (1) Пусть — функция распределения случайной величины, тогда формулу (15.1) можно записать в виде . В случае существования плотности случайной величины эту формулу можно переписать следующим образом . (2) Непосредственно из определения вытекают свойства характеристической функции: 1) , для всех действительных . 2) . 3) — равномерно непрерывная функция на всей числовой оси. 4) Характеристическая функция положительно определена, т.е. для любых действительных чисел и любых комплексных чисел . 5) Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых. Действительно, пусть — характеристическая функция случайной величины , — случайной величины , тогда характеристическая функция их суммы равна . 6) Если , где и — некоторые постоянные, то . Не сложно видеть, что . 7) Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины. Если случайная величина абсолютно непрерывна, выражение (2) есть преобразование Фурье функции . Для абсолютно непрерывной величины плотность восстанавливается по ее характеристической функции следующим образом: . Зная характеристическую функцию дискретной целочисленной случайной величины , такой что , можно восстановить ее распределение. Не трудно видеть, что справедливы равенства: В силу того, что , имеем . Таким образом, закон распределения восстановлен. Еще одно важное свойство характеристических функций сформулируем в виде теоремы. Теорема. Если существует абсолютный начальный момент порядка , то функция имеет непрерывных производных и справедливо равенство . При этом имеет место соотношение , (3) здесь и при . Доказательство. В силу того, что , интеграл равномерно сходится по . Следовательно , . Далее, используя метод математической индукции, получим требуемое в теореме равенство . Запишем разложение функции в ряд Тейлора в окрестности нуля с остаточным членом в форме Лагранжа , здесь , . Поэтому . Таким образом, , где . Не трудно видеть, что . Из теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла следует, что при . Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |