Основные идеи, лежащие в основе вейвлет-преобразований

Мы уже неоднократно пользовались тем, что определяли сигналы как векторыв некотором пространстве. Не претендуя на строгость, мы полагали, что вектором является некоторый набор чисел, представляющих сигнал. Мы говорили о базисе векторного пространства, в котором любой вектор из пространства может быть разложен в виде их линейной комбинации. Число векторов в базисе определяло размерностьвекторного пространства.

На основании понятия о векторном пространстве мы представили сигнал в виде обобщенного ряда Фурье (4.1), т. е. как взвешенную сумму простых составляющих — базисных функций , помноженных на коэффициенты С_к. «Геометрически» ряд Фурье означал разложение произвольного сигнала, как некого вектора, при котором коэффициенты ряда Фурье есть проекции на базисные направления. Мы установили, что коэффициенты разложения в ряд Фурье дают достаточно ясную качественную характеристику сигналу. Они показывают насколько u(t) содержит в себе эталонные колебания .

Ряд Фурье использует в качестве базисных функций синусоиды и косинусоиды, представленные комплексной экспонентой. Они предельно локализованы в частотной области (вырождаясь на спектрограмме в вертикальную линию), но очень плохо локализованы (точнее, вообще не локализованы) во временной области. Кроме того, такие базисные функции не способны адаптироваться к локальным изменениям сигналов. Все это приводит к ряду недостатков, о которых говорилось выше.

Недостатки традиционного преобразования Фурье обусловили то, что назрела острая необходимость в создании нового математического аппарата приближения сигналов, свободного от указанных недостатков.

Понятно, что более гибкую технику обработки сигналов может дать использование принципиально новых базисов, которые бы могли осуществлять преобразование Фурье не по всей временной оси (или оси t), а локально по месту своего расположения. Базисы такого типа должны позволять, подобно «окну» перемещаться к тому месту сигнала, в котором должно осуществляться «локальное преобразование Фурье» и масштабироваться. Базисными функциями нового типа могут быть различные функции, но понятно, что они близко или отдаленно должны напоминать возникающие и сразу затухающие колебания (волны) с некой средней частотой. Это обеспечивало бы им различное представление сигналов с локальными скачками и разрывами.

Базисом нового типа стали вейвлеты, которые были предложены в начале 90-х годов прошлого века. Термин вейвлет,впервые был введен специалистом по сейсмографии Морле (J. Morlet), Английское слово wavelet (от французского "onde-lette") дословно переводится как "короткая (маленькая) волна". В различных переводах зарубежных статей на русский язык встречаются еще термины: "всплеск", "всплесковая функция", "маловолновая функция", "волночка" и др. Заметим, что подобная интерпретация названий вейвлетов способна дать стимул к начальному пониманию сути вопроса, но она является чрезмерно упрощенной а, подчас, даже принципиально ошибочной. Прежде всего, потому, что подавляющее большинство вейвлетов не имеет ничего общего с возникающей и затухающей по амплитуде синусоидальной волной и свойства вейвлетов принципиально и сильно отличаются от свойств синусоиды.

Вейвлет (wavelet) – это обобщенное название временных функций, имеющих вид волновых пакетов той или иной формы, локализованных по оси независимой переменной (по оси времени t) и способных к сдвигу по ней и масштабированию (сжатию или растяжению).

Прямое вейвлет-преобразование, в соответствии с общепринятым подходом к анализу сигналов, означает разложение произвольного сигнала по принципиально новому базису в виде, что очень значимо, совокупности волнообразных пакетов-вейвлетов, которые характеризуются четырьмя принципиально важными свойствами:

1. Имеют вид коротких, локализованных по времени волновых пакетов с нулевым значением интеграла, определяющего площадь под кривой, описывающей сигнал.

2. Обладают возможностью сдвига по времени.

3. Способны к масштабированию (сжатию или растяжению вдоль оси времени).

4. Имеют ограниченный (или, точнее, локальный) частотный спектр.

Хотя идейно и чисто внешне вейвлет разложение напоминает разложение сигнала по экспоненциальным функциям, здесь имеют место серьезные отличия.

Во-первых, экспоненциальные функции простираются во времени от -∞ до ∞, как говорят математики, имеют глобальный носитель, а вейвлеты занимают лишь небольшой промежуток времени, имеют компактный носитель. Разложение в этом смысле локально.

Во-вторых, коэффициенты вейвлет разложения несут принципиально иную информацию, позволяющую определять свойства и локальные особенности функции u(t), описывающей сигнал.

К тому же, одна из основополагающих идей вейвлет-представления сигналов заключается в том, что аппроксимация в пространстве сигналов достигается суммированием составляющих так называемого грубого приближения и составляющих, отражающих различные уточнения при приближении. Поэтому сразу же следует отметить, что коэффициенты разложения, получаемые при прямом вейвлет-преобразовании, по своей сути, принципиально отличаются от коэффициентов преобразования Фурье для гармонических функций. Набор коэффициентов, получаемый в ходе прямого вейвлет преобразования и содержащий информацию о конкретном сигнале, состоит из «грубых», аппроксимирующих и «уточненных», детализирующих. Это позволяет по иному, нежели раньше, обрабатывать их.

Как известно, примерно такой, сходный по форме, подход используется в математике при представлении функции рядами Тейлора. Ряд Фурье, если захотеть, можно также рассмотреть с такой точки зрения. Грубое представление – это нулевой член ряда, который представляет сигнал любой формы числом, константой, равной площади под кривой сигнала. Первое приближение – это сумма константы с «детализирующей» первой гармоникой. Затем приближение постепенно улучшается увеличением числа «детализирующих» членов ряда.

В основе вейвлет-преобразования лежит использование непрерывных и интегрируемых по всей оси времени t двух классов функций.

1. Масштабирующей или скейлинг -PHI («фи») функции , определяющей грубое приближение (аппроксимацию) сигнала и порождающей аппроксимирующие коэффициенты.

Масштабирующая функция должна удовлетворять определенному уравнению, называемому масштабирующим. Кроме того, должно выполняться Масштабирующая функция порождает вейвлет функцию Хотя, следует иметь в виду, что масштабирующие PHI функции присущи только ортогональным вейвлетам. Для иных они могут не существовать.

2. Вейвлет – функций PSI («пси») с нулевым значением интеграла определяющих детали сигнала и порождающих детализирующие коэффициенты.

Система вейвлет –PSI функций создается на основе той или иной базисной функции . Базисная функция , помимо отмеченных требований, должна обеспечивать выполнение двух основных операций:

· смещение по оси времени t - ;

· масштабирование .

Параметр a задает ширину базисной функции (ее масштаб). Множитель обеспечивает независимость нормы этих функций от масштабирующего числа a. Параметр масштаба а реально может быть только положительным. Параметр b задает положение базисной функции на оси времени. Нетрудно убедиться в том, что следующее выражение задает сразу два этих свойства и порождает следующую систему базисных функций

(4.46)

Итак, с помощью исходного, как говорят материнского вейвлета, можно, за счет операций сдвига во времени (b) и изменения временного масштаба (а), сконструировать систему базисных функций , вейвлет-функций, по которым можно разлагать произвольный сигнал с помощью обобщенного ряда Фурье.

Сейчас имеется довольно обширный и разнообразный набор вейвлетов. В настоящее время используются более полтора десятка вейвлетов, которые обычно классифицируют по виду и особенностям образующей функции , по имени ученного, впервые предложившего тот или иной вейвлет. По таким вейвлетам имеется обширный справочный материал. К примеру, в системе MATLAB используются базовые типы вейвлетов, которые имеют следующие полные и сокращенные названия

===================================

Haar haar

Daubechies db

Symlets sym

Coiflets coif

BiorSplines bior

ReverseBior rbio

Meyer meyr

DMeyer dmey

Gaussian gaus

Mexican_hat mexh

Morlet morl

Complex Gaussian cgau

Shannon shan

Frequency B-Spline fbsp

Complex Morlet cmor

По конкретному типу вейвлета можно получить подробную справку на английском языке. Например, для вейвлета Добеши:

General characteristics: Compactly supported

wavelets with extremal phase and highest

number of vanishing moments for a given

support width. Associated scaling filters are

minimum-phase filters.

Family Daubechies

Short name db

Order N N strictly positive integer

Examples db1 or haar, db4, db15

Orthogonal yes

Biorthogonal yes

Compact support yes

DWT possible

CWT possible

Support width 2N-1

Filters length 2N

Regularity about 0.2 N for large N

Symmetry far from

Number of vanishing

moments for psi N

График МНАТ вейвлета, называемого «мексиканская шляпа» (Mexican hat -похож на сомбреро), показан на рис. 4.13.

Рис. 4.13. График МНАТ вейвлета, называемого «мексиканская шляпа»

График Гауссового вейвлета 10 порядка показан на рис. 4.14.

Рис. 4.14. График Гауссового вейвлета 10 порядка

Графики масштабирующей или скейлинг-PHI («фи») функции и вейвлет-функций PSI («пси») ортогональных вейвлетов Добеши 4 и Добеши 10 и показаны на рис. 4.15 и 4.16.

Рис. 4.15. Графики масштабирующей PHI («фи») функции и вейвлет-функций PSI («пси») вейвлета Добеши 4

Рис. 4.16. Графики масштабирующей PHI («фи») функции и вейвлет-функций PSI («пси») вейвлета Добеши 10

Разнообразие вейвлетов приводит к необходимости правильно их подбирать для решения конкретной задачи. Удачный выбор типа вейвлета может существенно повысить эффективность решаемой задачи. И напротив, необоснованное применение того или иного вейвлета может привести, по меньшей мере, к разочарованию.

Поиск по сайту: