Понятие спектра сигнала

Электрические сигналы обычно задают в виде некоторой временной функции u(t). Такое представление позволяет определить форму сигнала и судить о локальных изменениях (об искажениях), которые происходят с сигналом при прохождении через электрическую цепь.

Вместе с тем, как доказано в математике, любую временную функцию u(t), отвечающую определенным требованиям (условиям Дирихле), можно представить в виде совокупности составляющих, определяемых с помощью ряда или интеграла Фурье.

Если система действительных функций является ортонормированной (т. е. она представляет ортонормированный базис), то произвольная кусочно-непрерывная функция u(t), для которой выполняется условие , может быть представлена в виде обобщенного ряда Фурье по системе функций

. (4.1)

Здесь коэффициенты С_n определяются по формуле

. (4.2)

Совокупность коэффициентов С_n называется спектром сигнала u(t) в ортогональной системе . Спектр полностью определяет сигнал.

Обобщенный ряд Фурье обладает следующим важным свойством: при заданной системе функций и фиксированном числе слагаемых ряда он обеспечивает наилучшую аппроксимацию u(t) в смысле минимума среднеквадратической ошибки. Если ортогональная система функций к тому же является полной, то с увеличением числа членов ряда среднеквадратическую ошибку можно сделать сколь угодно малой.

Выбор наиболее рациональной ортогональной системы функций зависит от цели, преследуемой при разложении функции u(t) в ряд. Если требуется провести как можно более точное разложение, то, как правило, используют ортогональную систему основных тригонометрических функций – синусов и косинусов. Если необходимо свести к минимуму число членов ряда (при заданной допустимой погрешности аппроксимации), то используют разнообразные системы функций Уолша, Хаара и многие другие.

Спектры сигналов, используемых в электротехнике и электронике, при всем их многообразии могут быть разделены на два вида – дискретные и сплошные.

Дискретные спектры (от лат discretus – разделенный, прерывистый) состоят из дискретного ряда гармонических колебаний. Обычно с помощью таких спектров характеризуют периодические негармонические сигналы, которые широко используются в электронике в цепях питания, синхронизации, развертки.

Дискретные спектры изображают графически. Поскольку каждая спектральная составляющая характеризуется частотой, амплитудой и начальной фазой, то графически дискретный спектр изображают в виде двух графиков на которых по горизонтальной оси в некотором масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены в виде отрезков линий либо амплитуда, либо начальная фаза спектральных составляющих. Первый график называют спектром амплитуд (амплитудным спектром). А второй – спектром фаз (фазовым спектром).

Периодические сигналы являются в известном смысле идеализацией. Они, по определению, являются бесконечно протяженными во времени. Реально существующие сигналы всегда имеют конечную длительность, поэтому, строго говоря, они не являются периодическими сигналами.

Вместе с тем, если рассматривать бесконечный временной интервал как период, то в принципе любой сигнал конечной длительности можно условно считать повторяющимся на бесконечности. Признаком периодичности сигнала является его повторяемость через интервал Т, поэтому сигнал конечной длительности можно рассматривать как периодический сигнал с периодом .

Отсюда вытекает, что спектр сигнала конечной длительности содержит спектральные составляющие, интервал между которыми стремится к нулю. Такой спектр с бесконечно малыми интервалами между смежными составляющими называют сплошным.

Следует помнить, что сигналы конечной длительности имеют сплошные спектры. Для удобства их обычно представляют в виде графика спектральной плотности.

Поиск по сайту: