Спектральное представление периодического сигнала

Периодическим называют электрический сигнал, математическая модель которого удовлетворяет следующему условию

. (4.3)

Т - это период сигнала, т.е. минимальный отрезок времени, по истечению которого мгновенное значение периодического сигнала начинают повторяться.

n – целые числа: n = 0, 1, 2, …

Спектральное представление периодического сигнала обычно выполняют в следующих базисах.

1. В ортонормированном базисе, образованном гармоническими функциями кратного аргумента .

Система тригонометрических функций кратных аргументов является полной и ортогональной на интервале (t₀, t₀+T), где t₀ - произвольная величина, - период базисных функций, - основная частота последовательности, образующей периодический сигнал (частота основной гармоники).

В этом случае произвольный периодический сигнал u(t) конечной мощности на интервале (t₀, t₀+T) можно представить тригонометрическим рядом Фурье

(4.4)

Коэффициенты ряда вычисляют по формуле

(4.5)

(4.6)

(4.7)

Коэффициенты a и b разложения сигнала в ряд Фурье дают достаточно ясную характеристику сигнала. Они показывают, насколько u(t) содержит в себе эталонные колебания

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой А_n и начальной фазой . Для этого коэффициенты тригонометрического ряда Фурье следует записать в виде

(4.8)

так, что

. (4.9)

2. В ортонормированном базисе, образованном системой функций, состоящих из экспонент с мнимыми аргументом .

Система экспоненциальных функций кратных аргументов является полной и ортогональной на интервале (t₀, t₀+T), где t₀ - произвольная величина, - период базисных функций, - основная частота последовательности, образующей периодический сигнал (частота основной гармоники).

В этом случае произвольный периодический сигнал u(t) конечной мощности на интервале (t₀, t₀+T) можно представить комплексным рядом Фурье

(4.10)

Коэффициенты ряда вычисляют по формуле

(4.11)

В общем случае коэффициенты являются комплексными величинами.

Комплексный ряд Фурье можно получить из тригонометрического ряда Фурье, если воспользоваться формулой Эйлера. Это еще раз подчеркивает, что тригонометрический и комплексный ряды Фурье это просто два различных способа представления одного и того же периодического сигнала.

Из выражения для определения коэффициентов комплексного ряда Фурье следует, что каждый коэффициент это есть произведение множителя 2/ Т (который зависит от периода) на интеграл, который зависит главным образом от формы одиночного импульса, из которого состоит вся периодическая последовательность. Интеграл, как комплексная функция частоты, получил название спектральной плотности одиночного импульса.

(4.12)

Отсюда следует, что коэффициенты комплексного ряда Фурье связаны со спектральной плотностью одиночного импульса соотношением

(4.13)

Поскольку комплексные коэффициенты ряда Фурье характеризуются модулем и аргументом, то можно об амплитудном и фазовом спектре периодической последовательности импульсов сказать следующее.

Огибающая линейчатого амплитудного спектра (кривая, проходящая по вершинам спектральных компонент, расположенным на частотах ω_n кратных частоте основной гармоники ω₀) периодической последовательности, полученной путем повторения заданного импульса, совпадает по форме и отличается только масштабом (масштабным коэффициентом 2/ Т) от спектральной плотности одиночного импульса

Огибающая линейчатого фазового спектра периодического сигнала определяется аргументом спектральной плотности одиночного импульса.

Так как спектр периодического сигнала линейчатый (дискретный) и его гармоники его расположены только на частотах , то, дискретизируя аргумент огибающей, можно получить выражение для расчета амплитудного и фазового спектра.

Таким образом, вычислив спектральную плотность одиночного импульса, можно, не прибегая к непосредственному вычислению коэффициентов ряда Фурье, рассчитать и построить спектр периодической последовательности сигналов той же формы, полученной путем повторения непериодического сигнала.

Кроме того, знание спектральной плотности одиночного импульса позволяет, опять же не прибегая к вычислению коэффициентов ряда Фурье, определять как влияет на спектр те или иные действия над сигналом во временной области (уменьшение или увеличение длительности, изменения фронтов и прочее).

Поиск по сайту: