Понятие энергетического спектра

К понятию энергетического спектра приводят следующие рассуждения.

Если известен ток i(t), протекающий по резистивному элементу R под действием приложенного напряжения u(t), то мгновенная мощность, развиваемая при этом будет равна

(4.41)

Следовательно, произведение двух одинаковых функций может быть использовано в качестве величины, выражающей мощность.

Полная энергия сигнала будет определяться интегрированием мгновенной мощности по времени в пределах действия сигнала

(4.42)

То есть, интеграл от квадрата функции, характеризующий изменения величины процесса, выражает суммарную энергию всего процесса. Если связать сигнал с его спектральной плотностью, то можно получить формулу Парсеваля

(4.43)

согласно которой энергия сигнала пропорциональна интегралу от квадрата модуля его спектральной плотности.

Следовательно, энергию некоторого сигнала (в общем случае временного процесса) можно вычислить двояким путем: либо интегрируя квадрат функции времени, либо интегрируя квадрат амплитудного спектра.

Эта формула свидетельствует и о том, что энергия любого сигнала есть результат суммирования вкладов от различных интервалов частотной оси. Каждый малый интервал положительных частот Δω обеспечивает вклад в общую энергию сигнала, равный

(4.44)

По виду функции можно судить о распределении энергии в спектре, поэтому величина носит название спектральной плотности энергии сигнала u(t), или, короче, энергетического спектра сигнала u(t).

Понятие энергетического спектра оказывается весьма полезным для получения различных инженерных оценок, устанавливающих реальную ширину спектра (полосу частот, где сосредоточена большая доля общей энергии) сигналов очень сложной формы.

Следует иметь в виду, что, изучая сигнал с помощью энергетического спектра, мы неизбежно теряем информацию, которая заключена в фазовом спектре сигнала, поскольку энергетический спектр есть квадрат модуля спектральной плотности и не зависит от ее фазы. Например, при энергетическом подходе все сигналы, одинаковые по форме, но отличающиеся расположением на временной оси, выступают как совершенно неразличимые.

Если определить долю энергии, которая заключена в “к” последовательных «лепестках» спектральной плотности прямоугольного импульса, то можно констатировать что на первый «лепесток» спектра приходится энергия, составляющая 90,2% от общей энергии, на первый и второй – 95%,на первые три - 97%. Такая оценка реальной ширины спектра сигнала не раскрывает всей картины явления, поскольку фазовые соотношения играют важнейшую роль в формировании формы сигнала. Но если сведения о форме сигнала отступают на второй план (форма сигнала является случайной или сильно искажена помехами), то величина энергии приобретает первостепенное значение, и энергетическая оценка ширины спектра становится особенно целесообразной.

Следует иметь в виду, что энергетический спектр «отсеивает» составляющие спектра с малым уровнем. «Лепестки», хорошо заметные на графике спектральной плотности, могут «пропасть» с энергетического спектра.

Явление Гиббса

Предположим, что мы, используя прямое преобразование Фурье, получили спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов с очень малыми фронтом и спадом. Вычисления мы провели не для бесконечного числа гармоник, а, например, всего для десяти. Если теперь, используя эти десять гармоник и применяя обратное преобразование Фурье, попытаться получить исходный импульс, то мы обнаружим, что в восстановленном импульсе вблизи фронта и спада возникнут волнообразные колебательные процессы, которые через некоторое время затухнут. С энергетической точки зрения такое явление не очень понятно, поскольку доля энергии «отброшенных» гармоник практически ничтожно мала.

Явление появления погрешностей (затухающих колебательных процессов) в окрестностях точек разрыва восстановленного импульса, возникающее при усечении линейчатого спектра(ограничении числа используемых гармоник), получило название явления Гиббса (Дж. Уиллард Гиббс, не будучи первооткрывателем в 1898 году разрекламировал его).

Кратко, существо вопроса состоит в том, что ряд Фурье аппроксимирует сигнал в среднеквадратическом смысле (минимизирует энергию ошибки). Близость нормы сигнала к норме конечного отрезка обобщенного ряда Фурье не означает сходимость суммы ряда к мгновенному значению сигнала в каждой точке (поточечной сходимости). Спектральные линии, отвечающие большим N (частотам, которые мы не приняли во внимание), порождают резкий «всплеск» суммы ряда Фурье.

Заметим, что если брать величину N очень большой, то все равно амплитуда пульсаций синтезированного импульса (первого всплеска) будет составлять 9 процентов от величины скачка. А, следовательно, практически всегда при восстановлении периодических сигналов электрической цепи будут наблюдаться «выбросы и колебания» в тех местах сигнала, где имеет место быстрое его изменение (в точках разрыва производной, скачка), поскольку не одна электрическая цепь не может передать бесконечное число гармоник сигнала.

Эффект Гиббса более широкое понятие, чем мы описали для случая Фурье анализа и синтеза сигнала. Он в той или иной форме встречается и в ряде других случаев синтеза сложных колебаний, в том числе, как установим позже, при выполнении вейвлет анализа и синтеза.

Для борьбы с эффектом Гиббса применяют ряд методов, суть которых состоит в умножении амплитуд гармоник на специальные множители (сигма множителей, множителей Фейера, Чезаро и прочее).

Поиск по сайту: