Общие сведения о вейвлет-преобразованиях

Вейвлет функции , будучи функциями времени, имеют свое традиционное спектральное представление с помощью спектральных плотностей , часто именуемое как частотное представление, Фурье образ. Поскольку функцию изначально выбирают исходя из условия из-за чего , и , то и графики спектральных плотностей , в общем случае, будут представлять собой функции с компактным носителем, имеющие один глобальный и несколько локальных экстремумов (в принципе их может и не быть, когда график спектральной плотности имеет вид колоколообразной кривой). Величина последних будет резко уменьшаться по мере удаления от глобального экстремума. То есть график спектральной плотности будет сосредоточен в определенном диапазоне частот и его глобальный экстремум будет расположен вблизи некоторой ненулевой частоты ω₀. Эту частоту можно рассматривать как среднюю круговую частоту вейвлета (центральную частоту вейвлета).

Тогда можно утверждать, исходя из свойств спектральных преобразований, что малые значения а соответствуют мелкому масштабу и высоким частотам ω₀ (), большие значения а – крупному масштабу ,растяжению материнского вейвлета, и сжатию его спектра.

Подводя итог сказанному, можем теперь более корректно сформулировать, что представляет собой вейвлет преобразование.

Если сконструирован базис функционального пространства с помощью непрерывных масштабных преобразований и переносов материнского вейвлета с произвольными значениями параметров а и b, то по формальной аналогии с преобразованием Фурье, путем вычисления вейвлет коэффициентов, можно получить непрерывное прямое вейвлет-преобразование (CWT – continuous wavelet transform)

(4.47)

Прямое вейвлет преобразование можно рассматривать как разложение сигнала (декомпозицию) по всем возможным сдвигам и растяжениям/сжатиям сигнала. При этом параметры а и b могут принимать любые значения в пределах указанных выше областей их определения.

Как видно, вейвлет-анализ не использует амплитудно-частотную область для визуального представления спектра сигнала, как это имеет место при традиционном спектральном анализе Фурье. Вместо нее используется область время (точнее сдвиг) – масштаб.

При непрерывном изменении а и b для расчета вейвлет спектра необходимы большие вычислительные затраты. Следует также учитывать, что множество функций обычно избыточно. При очень сложном спектре, из-за этой избыточности, можно даже неверно интерпретировать особенности сигнала. Поэтому для практического применения необходима дискретизация значений а и b. Дискретизация как правило осуществляется через степени двойки

(4.48)

где m и k – это целые числа. В этом случае плоскость аb превращается в соответствующую сетку. Сетка дискретизации называется диадической. Соответственно такое преобразование принято называть диадным (dyadic) вейвлет – преобразованием.

В этом случае коэффициенты разложения W(m,k) =d_mk = детализирующие коэффициенты для вейвлет-декомпозиции сигнала уровня к. Теперь эти коэффициенты дискретны и вейвлет-спектр можно представить как «лес» из вертикальных отрезков, размещенных над mk плоскостью (точнее, сеткой). Координата m указывает на скорость изменения сигнала, а k –на положение вдоль оси времени.

Важной особенностью диадного вейвлет-преобразования является исключение перекрытия носителей вейвлетов, т. е. устранение избыточности в ходе вейвлет-преобразований.

Наряду с прямым вейвлет – преобразованием, осуществляющим анализ сигнала, существует обратное вейвлет-преобразование, с помощью которого можно осуществлять синтез сигналов.

Обратное непрерывное вейвлет-преобразование обычно записывают следующим образом

(4.49)

где К_ψ – константа(нормирующий коэффициент), зависящий от ψ,

(4.50)

- Фурье-преобразование вейвлета ψ(t).

Как было установлено исследованиями, после проведения прямого и обратного вейвлет преобразования можно обеспечить довольно точное восстановление сигнала на заданном промежутке. Оказалось, что при использовании ортогональных вейвлетов возможно даже точное восстановление сигнала, как говорят, его (полная) реставрация.

Считается, что вейвлет-преобразование на основе только детализирующей ортогональной вейвлет функции ψ(t) способно восстановить, по крайней мере, тонкие детали временной зависимости сигнала u(t). Для восстановления полной формы сигнала (реконструкции) приходится прибегать к масштабирующей функции , именуемой также аппроксимирующей. В литературе эту функцию также называют «отцовским» вейвлетом, намекая на то, что без осуществления «папаши» материнский вейвлет не способен воспроизвести «потомство», полноценно представляющее исходный сигнал.

В иных случаях восстановление дает близкий к исходному сигналу u(t) приближенный сигнал, причем близость понимается в традиционном смысле обеспечения минимума среднеквадратической погрешности восстановления.

Поиск по сайту: