Дискретные сигналы и их спектры

Дискретные сигналы возникают в тех случаях, когда источник сообщений выдает информацию лишь в фиксированные моменты времени. Поэтому основным свойством дискретного сигнала является то, что его значения определены не во все моменты времени, а лишь в счетном множестве точек. Если аналоговый сигнал имеет математическую модель вида непрерывной или кусочно – непрерывной функции, то отвечающий ему дискретный сигнал представляет собой последовательность отсчетных значений сигнала в точках соответственно.

На практике, как правило, отсчеты дискретных сигналов берут во времени через равный промежуток Δ, называемый интервалом (шагом) дискретизации:

Операцию дискретизации, т.е. переход от аналогового сигнала к дискретному сигналу можно описать вводя в рассмотрение обобщенную функцию

(4.35)

называемую дискретизирующей последовательностью.

Дискретный сигнал, в этом случае, будет равен скалярному произведению функции и

. (4.36)

В математике доказывается, что спектр произведения двух сигналов пропорционален интегралу произведения их спектральных плотностей (так называемой свертке сигналов)

(4.37)

Если подставить значения спектральных плотностей и упростить выражение, то можно получить, что спектральная плотность дисретизированного сигнала определяется выражением

(4.38)

Итак, спектр сигнала, полученного в результате идеальной дискретизации бесконечно короткими импульсами S_n, представляет собой сумму бесконечного числа «копий» спектра S_u исходного аналогового сигнала, сдвинутых одна относительно другой. Копии располагаются на оси частот через одинаковые интервалы , равные значению угловой частоты первой гармоники дискретизирующей импульсной последовательности.

Рис. 4.8. Спектральные плотности одного импульса и полученного на его основе дискретизированного сигнала

Использование дискретизации позволяет численно вычислять спектры сигналов, в том числе и для случаев, когда аналитические расчеты затруднены. Для этой цели сигнал задается таблицей (вектор – строкой) численных значений, определенных в точках (узлах) дискретизации. Дискретные отсчеты сигнала делают через одинаковые временные интервалы на протяжении одного периода. Спектральная плотность при этом будет определяться по формуле

(4.39)

Формула определяет последовательность коэффициентов, образующих дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Следует иметь в виду, что коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно N /2, образуют сопряженные пары. Поэтому принято считать, что коэффициенты C_N/2+1, C_N/2+2, C_N/2+3, … отвечают отрицательным частотам. При изучении амплитудного спектра они не дают новых сведений. Ясно, что при любом N число гармоник, определяемых с помощью ДПФ, составляет половину числа отсчетов.

Для того, чтобы вычислить ДПФ последовательности из N элементов, требуется выполнить N² операций с комплексными числами. Если длины обрабатываемых массивов чисел имеют порядок тысячи и более, то это требует большого времени вычисления даже для современных ЭВМ. Для повышения оперативности ДПФ применяют специальные алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ) (начало развития с 60 –х годов прошлого столетия), которые сокращают количество вычислительных операций и тем самым ускоряют счет на ЭВМ. Выигрыш в скорости вычислений по сравнению с традиционным ДПФ достигает сотен и тысячи раз.

Принцип БПФ мы изучать не будем, однако отметим, что он реализован почти во всех пакетах спектрального анализа сигналов на ЭВМ. С помощью БПФ производится перевод временное представления сигнала (в координатах амплитуда – время) в частотную область (спектральная плотность – частота). Пример расчета спектральной плотности прямоугольного импульса, аналогичного ранее рассмотренному, с помощью БПФ показан на рис. 4.9.

Рис. 4.9. Модуль и аргумент спектральной плотности прямоугольного импульса, полученные с использованием БПФ

Рис. 4.10. Модуль и аргумент спектральной плотности прямоугольного импульса, полученные с использованием БПФ и перегруппировки частотных компонент

Как следует из рисунка, правее частоты 5 Гц (коэффициенты ДПФ, номера которых больше N /2) спектр содержит сопряженные копии начальных членов в обратном порядке. По этой причине спектральные компоненты, близкие к нулевой частоте, группируются по краям спектральной диаграммы. Это не всегда удобно с точки зрения физического восприятия спектра. Есть специальные алгоритмы, которые обеспечивают перегруппировку элементов выходного массива преобразования Фурье таким образом, что компоненты, близкие к нулевым частотам, оказываются в центре графика. Пример построения графика спектральной плотности того же прямоугольного импульса, но уже с перегруппировкой, показан на рис. 4.10.

Сравнив спектры нетрудно заметить, что нулевая частота в последнем случае соответствует центру графика.

Поиск по сайту: