Интегральное преобразование Фурье

Для спектрального представления непериодических сигналов (говорят также – апериодических сигналов) формы записи ряда Фурье использовать не целесообразно. Во-первых, число гармонических составляющих, входящих в ряд, будет бесконечно большим, а расстояние между линиями спектральной диаграммы будет бесконечно малым. Во-вторых, из-за того что период в этом случае стремится к бесконечности, амплитудные коэффициенты станут неограниченно малыми.

В этой связи сплошной спектр произвольного апериодического сигнала связывают со спектральной плотностью сигнала, когда разложение в ряд заменяется разложением в интеграл Фурье

(4.14)

Спектральная плотность сигнала (интеграл Фурье), представляет апериодический сигнал u(t), заданный на бесконечном интервале времени (-∞,∞), интегральной суммой функций с частотами , отстоящими друг от друга на бесконечно малую величину dω.

Модуль спектральной функции характеризует плотность распределения амплитуд составляющих сплошного спектра непериодического сигнала по частоте (закон распределения плотности амплитуд). Термин «спектральная плотность» означает, что есть амплитуда напряжения (тока), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту. Модуль спектральной функции свидетельствует о том, что хотя амплитуды всех гармоник сплошного спектра и являются бесконечно малыми величинами, но роль этих гармоник в процессе формирования импульса, неодинакова. В той части спектра, где спектральная функция больше, суммирование составляющих с бесконечно малыми амплитудами в пределах малого, но конечного диапазона частот, дает мгновенное значение импульса большее по величине, чем на тех частотах, где спектральная плотность меньше. Знание спектральной плотности непериодического сигнала, т. е. знание относительного распределения амплитуд гармоник в спектре сигнала, позволяет сделать правильный вывод о том, какова должна быть частотная характеристика электрической цепи, чтобы она «пропускала» все спектральные компоненты сигнала и не вносила искажений в передаваемый импульс.

По заданной спектральной плотности сигнала всегда можно восстановить сигнал u(t)

(4.15)

Эта формула называется обратным преобразованием Фурье для сигнала.

Таким образом, можно сформулировать окончательно очень важный результат: сигнал u(t), и его спектральная плотность взаимно однозначно связаны прямым и обратным преобразованием Фурье. Формула (4.14) позволяет осуществить прямое преобразование и найти спектральную плотность импульса. Формула (4.15) позволяет осуществить обратное преобразование и вычислить зависимость мгновенных значений от времени u(t), если задана спектральная плотность . Преобразования Фурье позволяют определить, как влияют те или иные действия над сигналом во временной области на его представление в частотной области (на его спектр), и наоборот.

Заметим, что формулами интегрального преобразования Фурье можно пользоваться при условии, что функция u(t) является абсолютно интегрируемой, т. е. . Подобное условие сужает класс допустимых сигналов, для которых в классическом смысле можно говорить о спектральной плотности. В частности, в указанном классическом смысле нельзя говорить о спектральной плотности гармонического сигнала, единичной функции Хевисайда и т. п.. В современной математике разработаны приемы, позволяющие разумным образом вычислять спектральную плотность неинтегрируемых сигналов. Однако, в этом случае спектральную плотность следует описывать не обычными классическими функциями, а обобщенными функциями.

Поиск по сайту: