и «сжатия» сигналов

При вейвлет-анализе сигнал раскладывается на аппроксимирующие коэффициенты, которые представляют сглаженный сигнал, и детализирующие коэффициенты, отражающие вариации сигнала (высокочастотные составляющие спектра сигнала).

Первый известный факт заключается в том, что флуктуационные процессы на контактах компонентов электрической цепи, именуемые «шумом», как и все кратковременные особенности сигнала, создают высокочастотные составляющие спектра. Следовательно, шумовая компонента сигнала больше отражается в детализирующих коэффициентах cD. Отсюда следует, что для удаления шума следует специальным образом обработать детализирующие коэффициенты. Второй известный факт заключается в том, что уровень шумовой компоненты обычно меньше по модулю, чем у основного сигнала. Поэтому простейший способ удаления шума состоит в том, чтобы сделать нулевыми значения детализирующих коэффициентов, которые по величине меньше некоторого порогового значения.

Таким образом, задав некоторый порог для их уровня и срезав (или ограничив) детализирующие коэффициенты с высоким содержанием шумовых компонент, можно уменьшить уровень шумов. При этом возможно как глобальное ограничение всех коэффициентов по уровню, одинаковое для всего сигнала и всех коэффициентов, так и локальное ограничение, учитывающее изменяющийся характер сигнала. Эта процедура называется пороговой обработкой коэффициентов (трешолдингом).

Широкое распространение получили такие методы пороговой обработки, как жесткий трешолдинг и мягкий трешолдинг.

При жесткой пороговой обработке сохраняются неизменными все коэффициенты, большие или равные по абсолютной величине порога , а меньшие коэффициенты обращаются в нуль.

При мягкой пороговой обработке наряду с обращением в нуль коэффициентов, по модулю меньших, чем , происходит уменьшение по модулю остальных коэффициентов на величину .

Процесс декомпозиции и реставрации сигнала определяется деревом, представленным в графической форме, которое отражает, по сути, работу с частотными фильтрами. При этом следует иметь в виду то обстоятельство, что полное дерево пакетного вейвлет разложения содержит много коэффициентов. Изучение всех полученных коэффициентов пакета затруднительно ввиду их большого числа. Кроме того, некоторые из коэффициентов могут быть малоинформативными. Поэтому очень важно «взять в работу» не все дерево, а некое поддерево оптимальной величины в смысле числа коэффициентов и их информативности.

Для нахождения наиболее целесообразного количества коэффициентов используют различные критерии, но наибольшее распространение получили критерии, позволяющие оценить информативность набора коэффициентов и основанные на определении энтропии.

Очевидно, что полученные о чем либо сведения будут тем ценнее и содержательнее, чем больше была их неопределенность до получения этих сведений. В качестве меры неопределенности и применяется специальная характеристика, именуемая энтропией. Энтропия (как величина, обратная неопределенности) будет равна нулю, если о событии все достоверно известно (когда нет неопределенности). И, наоборот, энтропия увеличивается и обращается в максимум в ситуации, чем больше возможных событий и чем более они равновероятны (нет приоритета у какого нибудь события и трудно предсказать, что произойдет).

Если вейвлет-коэффициенты получаются малыми и их появление почти равновероятно, то энтропия получается большой. И наоборот, энтропия мала, если коэффициенты существенно отличаются. Понятно также, что любое усреднение коэффициентов увеличивает энтропию.

Для выбора необходимого числа коэффициентов вычисляют одну из следующих характеристик.

1. Энтропию Шеннона.

2. Логарифм энтропии.

3. Пороговую энтропии.

4. Энтропию «SURE».

При этом используется следующая стратегия: сначала строится полное дерево разложения, затем снизу-вверх анализируются пары узлов, имеющие общий корень. Если при переходе от коря к узлам энтропия не уменьшается, эта пара заменяется на корень. Возможен также упрощенный вариант – подобрать оптимальный уровень, т. е. высоту полного дерева, при котором энтропия минимальна.

В общем случае, при решении задачи шумоподавления необходимо: оценить спектральный состав шумовой компоненты, выбрать тип пороговой обработки (трешолдинга) и критерий расчета самого порога.

От выбора порогового уровня фона (оценки дисперсии шума) зависит качество шумоподавления сигнала, оцениваемое в виде отношения сигнал/шум. Задание малых значений порога сохраняет «шум» в коэффициентах детализации и поэтому приводит лишь к незначительному увеличению отношения сигнал/шум. При больших значениях порога можно потерять коэффициенты, которые несут существенную информацию о самом сигнале. Поиск оптимального значения означает отыскание такого порога, который при наименьшем смещении восстановленного сигнала обеспечивает наибольшее значение отношения сигнал/шум.

Определить оптимальное значение порога , соответствующее уровню k разложения сигнала, позволяет определить критерий Штейна несмещенной оценки риска (Stein's unbiased risk estimation), как аргумент некоторой функции риска , при котором данная функция принимает минимальное значение.

Качество шумоподавления сигнала (отношение сигнал/шум) зависит также от способа применения трешолдинга. Используются следующие способы пороговой обработки:

1. Общий (глобальный) трешолдинг, осуществляемый с использованием фиксированного значения порога - значения, единого для всех уровней и коэффициентов детализации сигнала;

2. Многоуровневый трешолдинг, осуществляемый с использованием порога, значения которого изменяются от уровня к уровню;

3. Локальный (адаптивный) трешолдинг, подразумевающий использование порога , переменного не только по уровню разложения, но также зависящего от позиции коэффициентов детализации на данном уровне.

Таким образом, процедура удаления шума сигнала, а также его компрессии состоит из трех шагов.

1. Осуществляется декомпозиция сигнала. При этом выбирается вейвлет и уровень разложения k и, затем, вычисляется вейвлет-разложение исходного сигнала до уровня k.

2. Выполняется пороговая обработка детализирующих коэффициентов. Для каждого уровня от 1 до k выбирается порог и применяется соответствующая выбранному способу пороговая обработка детализирующих коэффициентов.

3. Наконец, проводится восстановление сигнала по новым коэффициентам. Другими словами, осуществляется вейвлет-реконструкция, основанная на первоначальных аппроксимирующих коэффициентах уровня k и модифицированных детализирующих коэффициентах уровней от 1 до k.

На рис. 4.29 показаны результаты очистки от шумов сложного сигнала, полученные использованием локального (адаптивного) трешолдинга.

Рис. 4.29. Результаты очистки от шумов сложного сигнала

Вейвлеты открывают новые и необычные подходы в сокращении избыточной информации или как говорят в «компрессии» сигнала или изображения.

Возьмем в качестве примера сигнал, получаемый при снятии электрокардиограммы. Он позволяет судить о работе сердца. Это, как вы видели, довольно сложный импульсный сигнал, несущий в себе довольно много информации. Докторам такая информация очень важна и они часто ею пользуются. Если взять «картинку» электрокардиограммы и попытаться ее передавать с помощью Интернета, то обнаружится, что она «занимает» мегабайтные объемы и ее передача требует довольно длительного времени, не говоря уже о стоимости. Оказывается, с помощью вейвлет-преобразований объем передаваемой информации можно сократить в сотни раз или, как говорят, осуществить компрессию (сжатие) сигнала.

Другим примером необходимости применения техники «сжатия, компрессии», только теперь уже изображений, является создание архива отпечатков пальцев. Криминалистические отделы милиции завалены миллионами таких отпечатков различного качества. К сожалению их сканирование ведет к появлению больших графических файлов, для хранения которых требуется множество дорогих файловых серверов. Опять же существуют те же проблемы с их передачей по каналам связи. И здесь, понятно, весьма актуальна задача компрессии. Обработка снимков по вейвлет технологии сжатия информации дала прекрасные результаты. При сжатии информации в десятки раз качество снимка остается хорошим и он (отпечаток пальца) мало отличается от исходного.

Идея компрессии, применительно к вейвлетам, та же –ограничение уровня детализирующих коэффициентов. Кратковременные особенности сигнала (а к ним можно отнести и шумы в виде множества таких особенностей) создают детализирующие коэффициенты. Задав некоторый порог для их уровня, а еще лучше, установив для каждого коэффициента свой уровень отдельно, можно осуществить компрессию сигнала.

Для сжатия используется ранее описанная процедура, содержащая три шага. При этом надо иметь в виду, что более высокую степень компрессии обеспечивает установка локальных порогов.

Резюмируя сказанное, еще раз подчеркнем следующее. Вейвлет-преобразование имеет существенное преимущество перед преобразованием Фурье прежде всего за счет свойства локальности у вейвлетов. В вейвлет-преобразовании операция умножения на окно как бы содержится в самой базисной функции, которая сужает и расширяет окно: с ростом параметра аувеличивается разрешение по частоте и уменьшается разрешение по времени, а с уменьшением этого параметра уменьшается разрешение по частоте и увеличивается по времени. Отсюда появляется возможность адаптивного к сигналу выбора параметров окна. Подвижное частотно-временное окно одинаково хорошо выделяет и низкочастотные, и высокочастотные характеристики сигналов. Это свойство вейвлет-преобразования дает ему большое преимущество при анализе локальных свойств сигналов.

Используя вейвлет-преобразование возможно локально реконструировать сигнал: реконструировать только часть сигнала или выделить вклад определенного масштаба. Если вейвлет - коэффициенты подвержены случайным ошибкам, они будут действовать на реконструируемый сигнал локально вблизи положения возмущения, а преобразование Фурье распространяет ошибки по всему восстанавливаемому сигналу. Преобразование Фурье также чувствительно к фазовым ошибкам, а при вейвлет-преобразовании этого нет.

Именно благодаря ряду свойств, принципиально отсутствующих у преобразования Фурье, вейвлет-преобразование нашло широкое применение для анализа тонкой структуры сигналов и изображений, для их сжатия и очистки от шума, что важно и полезно.

Контрольные вопросы

1. Что называют спектральным анализом сигнала или преобразованием Фурье (ПФ)? Какие функции применяются в качестве базисных?

2. Охарактеризуйте основные свойства кратковременного или оконного преобразованию Фурье. В чем заключается его основной недостаток?

3. В чем заключается эффект Гиббса?

4. Сформулируйте принцип неопределенности Гейзенберга.

5. Каким образом произвольная кусочно-непрерывная функция u(t), для которой выполняется условие , может быть представлена в виде обобщенного ряда Фурье по системе функций ? Что называют спектром сигнала u(t) в ортогональной системе ?

6. Каким важным свойством обладает обобщенный ряд Фурье?

7. Дискретные спектры. Определите это понятие. Какие сигналы обычно характеризуют с их помощью и как?

8. Сплошной спектр. Определите это понятие. Какие сигналы обычно характеризуют с их помощью и как?

9. Приведите определение периодического сигнала.

10. Запишите выражения для тригонометрическог ряда Фурье и его коэффициентов.

11. В каких базисах обычно выполняют спектральное представление периодического сигнала?

12. Как можно представить произвольный периодический сигнал u(t) конечной мощности на интервале (t₀, t₀+T) комплексным рядом Фурье? Приведите формулу для вычисления коэффициентов ряда.

13. Дайте определение спектральной плотности одиночного импульса. Как связаны с ней коэффициенты комплексного ряда Фурье?

14. Для каких сигналов применяется разложение в интеграл Фурье и с какой целью? Запишите выражение.

15. Что характеризует модуль спектральной функции ?

16. Определите понятие обратное преобразование Фурье для сигнала. С какой целью его применяют?

17. Сформулируйте и поясните основные свойства преобразования Фурье.

18. Чему равна спектральная плотность на нулевой частоте для сигнала любой формы?

19. Спектральную плотность дельта функции и спектральная функция единичной функции Хевисайда. Запишите их выражения.

20. Спектральная плотность прямоугольного импульсного сигнала. Приведите выражения для амплитудно-частотного и фазо-частотного спектров.

21. Модуль и аргумент, нули спектральной функции прямоугольного импульса. Охарактеризуйте эти понятия. Приведите выражения, описывающие их.

22. Спектральная плотность треугольного импульсного сигнала. Приведите выражения для амплитудно-частотного и фазо-частоного спектров.

23. Модуль и аргумент спектральной функции треугольного импульса. Охарактеризуйте эти понятия. Приведите выражения, описывающие их.

24. Охарактеризуйте понятие – дискретные сигналы. Приведите примеры.

25. Что называют дискретизирующей последовательностью? Запишите выражение для спектральной плотности дисретизированного сигнала. Определите понятия – дискретное и быстрое преобразование Фурье.

26. Определите понятие пачки импульсов. Приведите пример спектра пачки, состоящей из четырех импульсов прямоугольной формы. Охарактеризуйте его.

27. Перечислите последовательность действий при построении спектра периодического сигнала. Какой параметр называют скважностью?

28. Запишите формулу Парсеваля. Что она характеризует?

29. Объясните понятие энергетического спектра сигнала u(t).

30. На чем основано кратковременное или оконное преобразование Фурье? Изложите его преимущества.

31. Охарактеризуйте понятие – вейвлет (wavelet).

32. Перечислите основные свойства волнообразных пакетов-вейвлетов и основные отличия разложеня сигнала по вейвлетам от разложения по экспоненциальным функциям.

33. Что называют масштабирующей или скейлинг-PHI («фи») функцией и каким условиям она должна удовлетворять?

34. Вейвлет-функций PSI («пси») . Охарактеризуйте это понятие.

35. Какие свойства базисной функции отражают параметры а и b?

36. Что представляе собой Фурье образ вейвлет функции и график спектральной плотности?

37. Дайте определение центральной частоте вейвлета.

38. Запишите аналитическое представление непрерывного прямого вейвлет-преобразования (CWT-continuous wavelet transform). Охарактеризуйте его.

39. Что означает понятие сетка дискретизации. Охарактериуйте понятие – диадное (dyadic) вейвлет-преобразование. Сформулируйте основную особенность диадного вейвлет-преобразования.

40. Обратное непрерывное вейвлет-преобразование. Запишите аналитическое представление. Для решения каких задач оно служит?

41. Можно ли представить вейвлет в виде реализации двух фильтров – низкочастотного, с комплексным коэффициентом передачи , и согласованного с ним высокочастотного ? Какой из них дает частотный образ для аппроксимации (грубого приближения) сигнала, а а какой для его детализации?

42. Какие 4 фильтра соответствуют каждому ортогональному вейвлету?

43. Сформулируйте алгоритм Малла для Lo фильтров. Где он используется?

44. Охарактеризуйте понятие вейвлет-пакетов и их использование.

45. Нарисуйте схему разложения сигнала на аппроксимирующие и детализирующие коэффициенты. Поясните ее.

46. Раскройте содержание понятия – вейвлет-декомпозиция сигнала.

47. Охарактеризуйте пакетное вейвлет-преобразование. Для чего оно используется?

48. На чем базируется и что представляет собой вейвлет-спектрограмма?

49. Охарактеризуйте коэффициенты а и b в вейвлет-спектрограммах. Что называют временным масштабом?

50. Приведите и проанализируйте графики сигнала в виде синусоиды с «шумом» и вейвлет-спектрограмму суммарного сигнала.

51. Использование вейвлет-анализа для удаления шумов и «сжатия» сигналов. Кратко изложите идею метода. Охарактеризуйте понятие пороговой обработки коэффициентов (трешолдинг).

52. Мягкая и жесткая пороговаяобработка (жесткий трешолдинг и мягкий трешолдинг). В чем их суть и отличия?

53. Как осуществляется процесс декомпозиции и реставрации сигнала? Охарактеризуйте понятие дерева (графическая форма).

54. Раскройте содержание понятия энтропия. Сформулируйте критерий Штейна несмещенной оценки риска.

55. Перечислите основные способы пороговой обработки.

56. Приведите примеры применения вейвлетов для компрессии (сжатия) сигнала.

Рекомендуемая литература

1.

2.

3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. – М.: Гардарика, 2000. – 638 с.

4.

5.

6.

7.

8.

9. Гультяев А.К. Визуальное моделирование в среде Matlab: Учебный курс. – С-т Петербург, 2000. – 228 с.

10. Киселев Б.М. Matlab. Пакет Simulimk // Радиомир. Ваш копьютер – 2005 – №9. – С14 – 18.

11. Марпл-мл С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. – М.: Мир, 1990. – 584 с.

12. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. – М.: Мир, 1972. Т.2. – 287 с.

13. Жуков А.И. Метод Фурье в вычислительной математике. – М.: Наука. Физматлит, 1992. – 485 с.

14. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. – М.: СОЛОН-Р, 2002. – 448 с.

15. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / Пер. с англ. Е.В. Мищенко; Под ред. А.П. Петухова – М.: РХД, 2001. – 151 с.

16. Чуи К. Введение в вейвлеты / Пер. с англ. Под ред. Я.М. Жилейкина – М.: Мир, 2001. – 318 с.

17. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук – 1966. – Т. 166. – № 11. – С. 1145 – 1170.

18. Блаттер Н.К. Вейвлет-анализ. Основы теории. – М.: Постмаркет, 2001. – 338 с.

19. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование. Успехи физических наук – 2001. – Т. 171. – № 5. – С. 465 – 501.

20.

21.

22.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Поиск по сайту: