Оконное преобразование Фурье

Оценивая классическое преобразование Фурье произвольных сигналов можно отметить целый ряд его недостатков:

1. Базисной функцией при разложении в ряд Фурье является гармоническое (синусоидальное) колебание, которое математически определено в интервале времени от- до + и имеет неизменные во времени параметры. Соответственно, преобразование Фурье требует знание сигнала не только в прошлом, но и в будущем, что является теоретической абстракцией;

2. В условиях практически неизбежного ограничения числа гармоник или спектра колебаний точное восстановление сигнала после прямого и обратного преобразований Фурье теоретически (и, тем более, практически) невозможно, в частности, из-за появления эффекта Гиббса;

3. По составу высших составляющих спектра практически невозможно оценить местоположение локальных особенностей сигналов и их характер;

4. Отдельные особенности сигнала (например, разрывы или резкие всплески) вызывают незначительные изменения частотного образа сигнала во всем интервале частот от- до + , поскольку они создают множество высших гармоник очень малой амплитуды и фактически «размазываются» по всей частотной оси. Это делает их обнаружение по спектру практически невозможным. Не очень хорошо помогает отображению быстрых изменений сигналов, таких как всплески или перепады, увеличение числа гармоник. Хотя и так ясно, что такая плавная базисная функция, как синусоида, в принципе вообще не может представлять перепады сигналов с бесконечной крутизной, хотя такие сигналы (например, прямоугольные импульсы) встречаются очень часто.

5. Преобразование Фурье не учитывает, что частота колебания может изменяться во времени. Кроме того, на практике не все сигналы стационарны, а для нестационарных сигналов трудности преобразования Фурье возрастают многократно, делая его практически невозможным.

Проблемы спектрального анализа и синтеза сигналов, быстроизменяющихся и ограниченных по времени, частично решаются переходом к так называемому кратковременному или оконному преобразованию Фурье.

Идея этого преобразования проста: для получения о сигнале высокочастотной информации с хорошей точностью следует извлекать ее из относительно малых временных интервалов, а не из всего сигнала, а для низкочастотной спектральной информации наоборот. По этой причине временной интервал существования сигнала разбивается на ряд промежутков – временных окон. В каждом промежутке вычисляется свое преобразование Фурье-мгновенный спектр. Если в каком то окне (мгновенном спектре) существовали частотные составляющие некоторого сигнала, то они будут присутствовать и в «общем» спектре. Таким образом, можно перейти к частотно-временному представлению сигнала.

Кратковременное (оконное) преобразование выполняется с использованием выражения:

(4.45)

Здесь, в отличие интеграла Фурье, функция u(t) под знаком интеграла дополнительно умножается на оконную функцию w(t — b). Параметр b окна задает его сдвиг на временной оси. Обычно задается ряд фиксированных значений b в пределах полного окна. Например, для простейшего П - прямоугольного окна функция w(t — b) в пределах окна дает 1, а за пределами окна просмотра – 0. При этом для каждого окна мы получаем свой набор комплексных амплитуд сигнала в частотной области. Окно скачками перемещается и за некоторое число таких перемещений позволяет «просмотреть» весь сигнал. В каждом окне выполняется свое спектральное разложение, так что вместо обычно одной спектрограммы мы теперь получает набор спектрограмм.

Естественно, что поскольку каждое окно охватывает небольшой участок по времени, точность описания локальных изменений сигнала может быть повышена. Часто используются окна Гаусса или иные окна, обеспечивающие малые искажения спектра из-за граничных явлений и уменьшающие проявление эффекта Гиббса.

Казалось бы, раз оконное преобразование Фурье дает нам частотно-временное представление сигналов, то все замечательно и достаточно им и ограничиться. Но не все так просто. Все упирается в известный принцип неопределенности Гейзенберга. Согласно ему невозможно получить одновременно высокое частотное и высокое временное разрешение. Выбирая окно с малой шириной по времени, мы получаем высокое временное разрешение, но низкое частотное разрешение. Взяв окно с большой шириной во времени, получаем хорошее разрешение по частоте, но плохое во времени. Оконное преобразование оперирует с окнами, имеющими одинаковую ширину, а потому данное противоречие для него неразрешимо.

У оконного преобразования, кроме того, сохраняется принципиальный недостаток преобразования Фурье: в нем по-прежнему используется единственная базисная функция – синусоида со всеми отмеченными ранее недостатками.

Поиск по сайту: