 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Особенностей сигналов
Для изучения сигналов, обнаружения их локальных особенностей используют специальное и весьма специфическое представление непрерывного одномерного вейвлет преобразования в виде вейвлет-спектрограммы сигнала.
Вейвлет-спектрограмма, по сути, представляет собой изображение на масштабно временной плоскости своеобразного визуального образа сигнала, в котором с помощью различных цветов изображения отражается поведение и особенности сигнала при различном его рассмотрении.
Вейвлет-спектрограмма базируется на матрице, у которой количество строк равно максимальной величине масштабного коэффициента (длине вектора а), а количество столбцов равно длине вектора, представляющего отсчеты сигнала (величине b). Каждая ячейка матрицы содержит элемент W(ak,bm), определяющий величину коэффициента вейвлет преобразования. Каждому элементу матрицы, соответствует точка, окрашенная в цвет, соответствующий величине элемента. Таким образом, изображение вейвлет-спектрограммы характеризует зависимость коэффициентов вейвлет преобразования от координат точки на плоскости (точнее, от масштабного коэффициента а, который откладывается по оси ординат и от параметра b, являющегося аналогом времени и откладываемого по оси абсцисс).
Для понимания того, что представляет собой плоскостное изображение вейвлет-спектрограммы и как оно связано с сигналом представим себе, что у Вас в руках имеется лист, соответствующий по размерам плоскости спектрограммы, с прорезанным прямоугольным окошком, и лупа. Предположим, что имеется возможность прорезь перемещать и менять ее размеры. Ординату положения прорези определяет параметр а. Размер прорези по горизонтали равен ширине спектрограммы. Окно прямоугольной лупы также можно менять, т. е. сужать или растягивать по горизонтали. Размер окна лупы по горизонтали определяется параметром, равным величине 1/ а.
Пусть Вас интересует спектрограмма сигнала, при рассмотрении его лупой на отдельных мелких фрагментах его временного существования. Вы устанавливаете окно лупы узким по вертикали (тем самым берете большую величину а) и начинаете смотреть через лупу на сигнал. При этом Вы, в зависимости от интересующего фрагмента сигнала, выбираете положение окна лупы по оси времени. Нечего не измениться, если положение лупы по горизонтали Вы будете определять не в масштабе времени, а в значениях координаты изменения величины b (в новом масштабе при изменении времени от tMIN до tMAX положение будет варьировать от 0 до величины b). Тогда, зафиксировав внимание на интересующем фрагменте сигнала, Вы, непроизвольно, определяете два параметра а и b.
Теперь, переходя к листу для анализа спектра и перемещая прорезь в листе вверх по спектрограмме на соответствующую величину а, Вы можете по цветному изображения определить, как меняются коэффициенты вейвлет-преобразования или, по другому, спектрограмму, в зависимости от величины b или, что тоже самое, в другом масштабе, от временного положения анализируемого участка сигнала.
Если же Вас, наоборот, интересует спектрограмма поведения сигнала на больших временных интервалах (фрагментах), Вы раздвигаете окно лупы по горизонтали (берете малую величину а), выбираете укрупненный фрагмента сигнала и положение лупы по оси времени, и, затем, смотрите спектрограмму, устанавливая прямоугольник прорези в нижнюю часть листа в соответствии с величиной а.
В такой интерпретации параметр а называют временным масштабом, поскольку он в определенной степени характеризует детальность рассмотрения сигнала. Малые значения а соответствуют изучению сигнала при длительном времени его существования, большие параметры а – изучению небольших фрагментов сигнала. На вейвлет-спектрограмме коэффициенты а с малыми номерами, которые дают огрубленную картину сигнала, расположены снизу, а с большими номерам, дающие детальную картину сигнала, - сверху. Параметр b аналогичен смещению сигнала по оси времени.
Рассмотрим теперь вейвлет-спектрограммы некоторых сигналов.
Пусть вначале это будет спектрограмма фрагмента синусоиды. Напомним, что традиционный амплитудный спектр такого сигнала представляет собой вертикальную линию, расположенную на частоте синусоиды. Такая линия, по большому счету, ничего не выражает и никак не характеризует сигнал.
Вейвлет-спектрограмма того же синусоидального сигнала показана на рис. 4.24. Чтобы иметь представление о величинах W(ak, bm) коэффициентов вейвлет-преобразования на рис. 4.25 показан трехмерный график зависимости W(ak, bm).
Как свидетельствует рис. 4.24, спектрограмма синусоиды выглядит маловыразительно. Понятно, что гладкая гармоническая функция, как бы по определению, не может давать много информации о «локальных особенностях сигнала». Тем не менее, глядя на спектрограмму, можно отметить ряд особенностей анализируемого сигнала. Во-первых, хорошо видна периодичность функции.
Рис. 4.24. Вейвлет – спектрограмма синусоидального сигнала
Анализируемому гармоническому сигналу соответствуют периодические яркие горизонтальные области, где, как видно из рис.4. 25, модули коэффициентов вейвлетов велики. Сгущение светлых областей вейвлет - спектрограмм соответствует областям вблизи точек экстремумов. Участки синусоиды, вблизи точек перехода через нуль (это как известно линейные участки с наибольшей скоростью изменения сигнала), отображаются сгущением темных областей. Особенности сигнала хорошо заметны при больших величинах а, и пропадают при малых а. Это и понятно, что чем с более общих позиций мы характеризуем синусоиду, чем более ее крупные фрагменты рассматриваем, тем меньше «деталей» мы замечаем. Об этом также свидетельствует уменьшение уровня и нивелирование величин W(ak,bm) на рис.4.25.
Рис. 4.25. Трехмерный график зависимости коэффициентов вейвлет преобразования W(ak, bm)
Некоторое четко видимое усложнение спектра, которое «украшает» вейвлет-спектрограмму по краям, вызвано ограниченной областью существования сигнала и обусловлено краевыми «разрывами» синусоиды.
Вейвлет-спектрограмма модуля синусоидальной зависимости с линейкой соответствия цветов и величин коэффициентов W(ak, bm) показана на рис. 4.26
Рисунок свидетельствует, что и здесь локальным особенностям сигнала, экстремумам соответствуют светлые области спектрограммы (большие величины коэффициентов W(ak, bm)). Причем точки излома графика сигнала (точки, где изображающие график линии образуют угол или «острия») становятся заметными уже при малых коэффициентах а. Это является следствием того, что в точках перегиба функции (в острых минимумах) производная меняется, не так плавно, как у просто синусоиды, а очень резко. Наблюдая ход темных линий, образованных сгущением темных точек можно усмотреть тенденцию изменения сигнала (участки роста или убывания функции).
Рис. 4.26. Вейвлет-спектрограмма модуля синусоидального сигнала
Очень важно, что вейвлет-спектрограммы сигналов позволяют выделять такие особенности сигналов, которые вообще незаметны на графиках сигналов.
Для доказательства этого усложним сигнал, предположив, что он описывается функцией вида 
Это означает, что к ранее изученному синусоидального сигналу добавлена небольшая компонента в виде функции синуса в седьмой степени. График добавленной компоненты, новый анализируемый сигнал и вейвлет-спектрограмма его показаны на рис. 4.27.
Внешне новый сигнал совершенно не отличим от чистой синусоиды. Однако спектрограмма суммы синусоидального и добавочного сигнала в третьем подокне существенно преобразилась и значительно облегчает процесс анализа сигнала. По прежнему, чисто гармоническому синусоидальному сигналу соответствуют яркие горизонтальные полосы, отражающие большие вейвлет коэффициенты. Вместе с тем, на спектрограмме появляются дополнительные, несколько меньшей яркости сгущения светлых областей. Они, как легко заметить, отчетливо выделяют экстремумы, изменения знаков первой производной дополнительной компоненты. Спектрограмма отражает тот факт, что чем больше выражена особенность сигнала, тем выше будут уровни ее вейвлет-коэффициентов и тем сильнее она будет выделяется на спектрограмме. Линейным участкам с большой крутизной синусоиды и компоненты соответствует сгущение темных областей. Причем вертикальные темные полосы отражают также локальные особенностям обеих сигналов.
Рис. 4.27. Вейвлет-спектрограмма суммы синусоидального сигнала и умноженной на малый коэффициент дополнительной компоненты
Рассмотренные до этого сигналы описывались заранее известными функциями. Они точно были определены для каждого момента времени или, как говорят, были детерминированными. Однако в электрических цепях часто встречаются случайные сигналы, которые могут принимать бесконечное число форм. Флуктуационные процессы, обусловленные случайным характером процессов, происходящих в компонентах электрической цепи, называют «шумом». «Шум» зарождается в результате случайного, на микроскопическом уровне, поведения носителей заряда внутри компонентов электрической цепи (из – за случайного характера появления и исчезновения электронов, изменения скорости их движения и прочее). Поэтому изучим теперь сигнал в виде синусоиды с двумя разрывами первого рода, на который накладывается «шум» и сильно искажает его. «Шум», несмотря на различную природу, представим в виде последовательности импульсных сигналов, похожих по форме, непредсказуемых по амплитуде и длительности и случайно расположенных по оси времени. Естественно, что наложение шумов ухудшает обнаружение скачков в сигнале, поскольку, по существу, шум это почти те же скачки с произвольными значениями уровня и положения. График сигнала в виде синусоиды, «шума» и вейвлет-спектрограмма суммарного сигнала показаны на рис. 4.28.
Вейвлет-спектрограмма сигнала, несмотря на его сильное искажение шумами, в своей верхней части отчетливо показывает наличие двух разрывов. В нижней части спектрограммы видна весьма сложная структура шумов, что является свидетельством высокой разрешающей способности вейвлетов при выявлении «тонкой» структуры сигналов.
Таким образом, те особенности сигнала, которые почти незаметны на графике сигнала, вообще не наблюдаются на спектре Фурье, прекрасно видны на вейвлет-спектрограммах сигнала. Это делает анализ сигнала более «прозрачным» и многое проясняет в его сущности.
Рис. 4.28. Вейвлет-спектрограмма сигнала с «шумом»
Поиск по сайту: