РОЗДІЛ 4. НЕЛІНІЙНІ ТА ПАРАМЕТРИЧНІ ЕЛЕМЕНТИ І КОЛА

4.1. КЛАСИФІКАЦІЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

Електричним колом називається сукупність сполучених один з одним джерел електричної енергії та навантажень, якими може проходити електричний струм. Електричне коло складається з фізичних елементів, таких як резистори, конденсатори, котушки індуктивності, електронні прилади (діоди, транзистори, електронні лампи тощо), і проводів, що їх сполучують. Основними параметрами цих елементів є опір R (або провідність G = 1/R), індуктивність L та ємність С.

Якщо частота електричних коливань така, що довжина хвилі набагато більша за розміри елементів кола та довжини сполучуючих їх проводів, то це є коло із зосередженими параметрами. У цьому випадку можна вважати, що опір, ємність, індуктивність зосереджені у відповідних елементах - резисто­рі, конденсаторі, котушці індуктивності.

Властивості елементів електричного кола описуються зовнішніми харак­теристиками, які пов'язують залежність відгуку;у від дії x:

Так, для резистора це вольт-амперна характеристика , для кон­денсатора - кулон-вольтна характеристика , для індуктивності - вебер-амперна , де - напруга на елементі; - струм, що проходить, через елемент; - заряд; - магнітний потік.

Елементи кіл поділяють на лі­нійні, нелінійні та параметричні.

Лінійними називають елементи, параметри яких — постійні величини, які не залежать ні від електричної дії, ні від часу. Рівнян­ня зовнішніх характеристик таких елементів (рис. 4.1) мають вигляд лінійних залежностей (прямих ліній).

Нелінійними називаються еле­менти, параметри яких залежать від електричної дії (стру­му чи напруги), але не залежать від часу. Характеристика нелінійного елемента (НЕ) завжди відрізняється від прямої лінії (див. рис. 4.1) для всіх значень аргументу. Але на деяких ділян­ках зовнішня характеристика НЕ може бути і лінійною.

Параметричними називаються елементи, параметри яких залежать від часу. Розрізняють лінійно-параметричні елементи, в яких параметри, що залежать від часу, не залежать від електричної дії, та нелінійно-параметричні елементи, в яких параметри залежать як від часу, так і від електричної дії.

Кола, що містять тільки лінійні елементи, називаються лінійними. До лінійних кіл та елементів застосовується принцип накладання (суперпозиції) - відгук на суму дій дорівнює сумі відгуків на кожну дію окремо. Крім того, спектр відгуку лінійних кіл не має нових частот порівняно зі спектром дії. Доказ цього ствердження є у всіх підручниках із теорії електричних кіл (ТЕК).

Коло, що містить хоч один нелінійний елемент, називається нелінійним. На нелінійні кола та елементи не поширюється накладання і вони можуть породжувати нові частоти. Так, для нелінійної вольт-амперної характеристи­ки гармонічному струму через НЕ відповідає періодична негармонічна напруга на його кінцях. Якщо ж розкласти негармонічну напругу в ряд Фур'є, дістаємо нові частоти (гармоніки основної частоти).

Коло, в якому хоч один елемент параметричний, називається відповідно лінійно-параметричним чи неліиійно-параметричним. Параметричні кола, як і нелінійні, можуть породжувати нові частоти. Але в лінійно-параметричному колі діє принцип накладання.

У системах зв'язку лінійні, нелінійні та параметричні кола допомагають здійснювати основні корисні перетворення повідомлень та сигналів. За допомогою лінійних кіл - підсилення (ослаблення) сигналів, передавання їх лініями зв'язку, фільтрація з метою виділення сигналів та ослаблення завад, через те, що при цьому не потрібно одержувати нові частоти; за допомогою нелінійних і параметричних кіл - генерація коливань, множення, ділення та перетворення частоти, підсилення сигналів із великим ККД та малим шумом, модуляція та детектування, оскільки для цих операцій потрібні зміни спект­рального складу сигналів.

4.2. НЕЛІНІЙНІ ЕЛЕМЕНТИ ТА ЇХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Резистивні нелінійні елементи. У радіоелектроніці й техніці зв'язку нелінійні елементи - це найчастіше електронні та іонні прилади - діоди, транзистори, лампи. Сучасні електронні прилади досить досконалі за своїми частотними властивостями (стаціонарний режим встановлюється за час І0^-12 с), тому їх у широкому діапазоні частот можна розглядати як безінерційні резистори. Струм у них змінюється миттєво (без запізнення) відповідно до змін напруги та навпаки.

Розрізняють некеровані та керовані резистори. Некеровані є двополюс­никами: це діоди, газорозрядні лампи, варистори, терморезистори їх вольт-амперні характеристики (ВАХ) можна розглядати як математичну модель таких резисторів

, (4.1)

де параметри та залежать від прикладених чи .

Керовані резистори - це багатополюсники, у найпростішому випадку -чотириполюсники, вихідний струм яких є функцією багатьох напруг. До них можна зарахувати транзистори, електронні лампи, тиристори, тиратрони, тиністори тощо. Але і їх можна описувати ВАХ, якщо вважати, що вихідне коло представлене джерелом струму, яке керується вихідною напругою (чи навпаки).

Залежно від фізичної природи та побудови нелінійного резистора ВАХ мають той чи інший вигляд і звичайно задаються у вигляді графіків на основі експериментальнО одержаних даних. Типові з них, що відображають три класи ВАХ, подано на рис. 4.2.

1. Однозначна ВАХ, в якої одному значенню аргументу відповідає тільки одне значення функції (рис. 4.2, а). Такі характеристики мають більшість електронних ламп і напівпровідникових приладів.

2. Багатозначна ВАХ типу N, коли двом чи кільком значенням аргументу відповідає одне й те саме значення функції (рис. 4.2, б). Характеристики такого виду мають тетроди, тунельні діоди.

3. Багатозначна ВАХ типу S, коли одному значенню аргументу відпові­дають два чи кілька значень функції (рис. 4.2, в). Такі характеристики мають, наприклад, газорозрядні лампи.

Реактивні нелінійні елементи. До реактивних нелінійних елементів на­лежать нелінійна індуктивність та нелінійна ємність. Властивості нелінійних реактивних елементів визначаються за їх характеристиками, які звичайно знаходяться експериментальнО.

Котушки індуктивності є одними з основних деталей електронної апара­тури. Вони входять у резонансні контури, фільтри, трансформатори тощо. Застосування в котушках магнітного (феритового) осердя покращує їх пара­метри, зменшує габарити, розширює область використання. Але з феритови­ми осердями котушки стають нелінійними індуктивностями, тобто їх пара­метри залежать від струму, що проходить ними. Зовнішньою характеристикою котушки індуктивності є вебер-амперна характеристика

(4.2)

яка виражає залежність між струмом через котушку індуктивності та її магнітним потоком Ф.

Одними з основних нелінійних ємностей є конденсатори з діелектрика­ми, що мають нелінійні властивості. На звукових частотах як нелінійні ємності використовуються сегнетокерамічні конденсатори, які називають варикондами. На радіочастотах як нелінійні використовують бар'єрні єм­ності р-n -переходів напівпровідникових діодів. Вони називаються варика­пами, нелінійні ємності СВЧ діапазону - варакторами.

Дія конденсаторів в електричних схемах описується нелінійними кулон-вольтними характеристиками

(4.3)

які надають залежність заряду на конденсаторі від прикладеної напруги . У нелінійних конденсаторів ємність С залежить від прикладеної напруги. Звичайно, бар'єрна ємність варикапа використовується при напругах, що відповідають закритому р-n -переходу, тобто при малому струмі провідності. Варикапи застосовуються в параметричних підсилювачах та генераторах, у частотних модуляторах, у системах зв'язку, де необхідне плавне регулюван­ня параметрів, тощо.

Параметричні елементи. Параметричні опори, індуктивності, ємності характеризуються зміною своїх параметрів за часом. Зміну параметрів елементів можна здійснити різними засобами. Найпростіший із них - меха­нічна зміна значень R, L і С. Так, якщо обертати ротор конденсатора змінної ємності, то змінюємо площину пластин і, відповідно, ємність. Але в параме­тричних елементах, що застосовуються в системах зв'язку, частота зміни параметрів повинна бути, як правило, досить великою, тому необхідно застосовувати елементи з малою інерційністю. При цьому зміна параметрів проводиться електричним способом за допомогою керуючого сигналу.

Практично це здійснюється таким чином. Беруть безінерційний неліній­ний елемент із необхідними межами зміни параметрів (R, L чи С) і на нього подають керуючий сигнал відповідної амплітуди та форми. Для цього, наприклад, виготовляють спеціальні резистори - варистори.

Звичайно, крім керуючого сигналу на нелінійний елемент діє і корисний сигнал . Якщо його амплітуда набагато менша за амплітуду керуючого сигналу, то за такої дії елемент можна вважати лінійно параметричним. При підвищенні амплітуди елемент буде вже нелінійно-параметричним. Таким чином, параметричні елементи, як правило, реалізуються на основі нелінійних.

Співвідношення між струмом та напругою в резистивних лінійних, нелінійних та параметричних резисторних елементах подано в табл. 4.1.

Параметри нелінійних елементів. Для опису нелінійних елементів за­стосовується кілька типів параметрів. Всі вони визначаються за зовнішніми характеристиками нелінійних елементів.

1. Статичні параметри обчислюються за зовнішніми характеристиками (4.1), (4.2) та (4.3) при фіксованих (постійних) значеннях напруги чи струму . Через нелінійність зовнішніх характеристик всі ці параметри залежать від напруги чи струму. У формули табл. 4.1 вхо­дять статичні параметри НЕ.

4.1. Резистивні елементи електричних кіл і основні залежності між струмом та напругою на них

Елементи	Позначення на схемах	Залежності між струмом та напругою
Лінійні
Лінійно-параметричні
Нелінійні
Нелінійно-параметричні

2. Диференціальні параметри визначаються за формулами

(4.4)

Часто називають диференціальною крутістю і позна­чають . Диференціальні параметри обчислюються при лініаризованій зовнішній характеристиці в робочій точці, тобто точці, де провадяться обчислення. Для цього в робочій точці проводиться дотична до зовнішньої характеристики і похідна обчислюється як відношення приросту функції до приросту аргументу . Так, для зовнішньої характеристики НЕ, яку зображено на рис. 4.3, у робочій точці з координатами диференціальний параметр , тобто пропорційний тангенсу кута нахилу дотичної до характеристики. Коефіцієнт пропорційності залежить від масштабу на осях координат . Для порівняння зазначимо, що статич­ний параметр НЕ в цій же робочій точці . Оскільки зовнішня характеристика нелінійна, то в кожній робочій точці тангенс і, відповідно, статичні та диференціальні параметри будуть різними.

3. Середні параметри визначаються за першою гармонікою. Для їх визна­чення на нелінійний елемент подають гармонічне коливання , у спектрі відгуку знаходять першу гармоніку і далі виконують ділення комплексної амплітуди першої гармоніки відгуку на амплітуду дії

Середні параметри не можна визначити графічно, звичайно їх знаходять аналітичне за зовніш­ньою характеристикою.

У радіотехніці широко засто­совується поняття середньої крутості ВАХ лампи, транзисто­ра. Ця величина визначається як відношення амплітуди першої гармоніки вихідного струму до амплітуди вхідної гармонічної напруги

(4 5)

Поняття середньої крутості означає, що за час одного періоду підведеної напруги ВАХ вважається лінійною з нахилом _сер.

Приклад 4.1. Експериментально визначені ВАХ діодів подано графіками на рис. 4.4. Знайти статичні та диференціальні параметри діодів (провідність, опір) для напруги В.

Для заданої напруги В знаходимо робочу точку і проводимо в ній дотичну до ВАХ для визначення кута між дотичною та віссю абсцис. Для напівпровідникового діода (рис. 4.4, а) у робочій точці , параметри будуть

Для тунельного діода (рис. 4.4, 6) у робочій точці параметри обчислюються аналогічно:

Зверніть увагу на той факт, що для тунельного діода диференціальна провідність та опір від'ємні. І це не випадково, оскільки робоча точка знахо­диться на спадаючій ділянці ВАХ, де додатному приросту напруги відповідає від'ємний приріст струму.

Фізична суть від'ємного опору. Від'ємним у нелінійному резисторі може бути тільки диференціальний опір, статичний опір завжди додатний. З визначення диференціального опору (4.5) випливає, що він являє собою опір нелінійного резистора змінному струму малої амплітуди. Знак мінус біля означає, що напруга на резисторі і струм через нього протифазні, тому середня потужність, що споживається резистором, від'ємна, а від'ємну потужність мають тільки джерела ЕРС.

Отже, додатний диференціальний опір є споживачем, а від'ємний - джерелом змінного струму.

Інерційні нелінійні елементи. Інерційність НЕ слід розглядати в елект­ричному та тепловому значеннях.

Інерційним в електричному значенні є такий НЕ, в якого фаза першої га­рмоніки відгуку відстає від фази гармонічної дії. У діодах, транзисторах, електронних лампах інерційність проявляється на СВЧ, де через інерційність електронів струм не встигає слідувати за змінами напруги на електродах. Інерційність ураховують в еквівалентній схемі включенням реактивних елементів і . Реактивні НЕ (індуктивності, конденсатори) є інерційними за своєю суттю, тому що мають здатність накопичувати електричну енергію.

До інерційних у тепловому розумінні нелінійних елементів належать терморезистори (термістори), опір яких залежить від температури і струму, що прохо­дить через нього. Відзначимо, що для живлення термістора змінним струмом через теплову інерцію характерна лінійна залежність між миттєвими значен­нями струму і напруги та нелінійна залежність між діючими значеннями.

4.3. АПРОКСИМАЦІЯ НЕЛІНІЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК

Задача апроксимації. Як правило, зовнішні характеристики НЕ одержу­ють експериментальне за допомогою нескладної апаратури. Підприємства-виготовлювачі НЕ забезпечують їх типовими статичними характеристиками. Розрахунки за цими характеристиками можна провадити графічним способом, який є громіздким та досить приблизним.

Для аналітичних розрахунків необхідно мати математичний вираз стати­чних характеристик НЕ, тобто статична характеристика має бути задана за допомогою якої-небудь функції. Тому виникає задача апроксимації - піді­брати таку функцію, яка була б досить простою та відбивала найважливіші властивості експериментальне знайденої характеристики.

Процедура апроксимації складається з трьох етапів: вибір апроксимуючої функції, визначення її параметрів та перевірка похибки апроксимації. Для спрощення звичайно апроксимують не всю характеристику НЕ, а тільки її робочу ділянку, під якою розуміють ту частину характеристики, що викорис­товується в даному випадку. У радіо­техніці та електрозв'язку частіше за інших застосовуються два методи апроксимації: кусково-лінійний та поліноміальний.

Кусково-лінійна апроксимація. Суть методу полягає в заміні реальної характеристики відрізками прямих ліній з різними нахилами. Цей метод є досить грубим, але для великої амплі­туди зовнішньої дії він дає задовільні результати. Метод поширений в інже­нерній практиці для розрахунків пом­ножувачів частоти, підсилювачів потужних сигналів, детектування, випрямлення тощо. Наприклад, на рис. 4.5 подано статистичну характеристику діода КД103, яку апроксимовано двома відрізками прямих

(4.6)

де - напруга початку характеристики; - крутість струму діода.

Слід зазначити, що кусково-лінійна апроксимація не може бути застосо­вана для аналізу процесів, що пов'язані зі змінами крутості характеристики: генерація коливань, квадратичне детектування та інше.

Поліноміальна апроксимація. Криву будь-якого виду можна подати у вигляді полінома відносно робочої точки :

. (4.7)

Тут коефіцієнти - дійсні числа. Кількість членів полі­нома визначається необхідною точністю розрахунків.

Із різноманітності методів зна­ходження коефіцієнтів найбільш загальним є метод вибраних точок. На характеристиці в межах робочої ділянки вибирають точки, кількість яких дорівнює числу коефіцієнтів полінома . Координати цих точок які знаходять за заданою характеристи­кою НЕ, по черзі підставляють в апроксимуючий поліном (4.7) і дістають систему з рівнянь із невідомими.

4.4. ДІЯ ГАРМОНІЧНОГО КОЛИВАННЯ

НА БЕЗІНЕРЦІЙНИЙ НЕЛІНІЙНИЙ ЕЛЕМЕНТ

Форма відгуку. Нехай на НЕ з зовнішньою характеристикою діє гармонічне коливання . Форму відгуку можна знайти графічним або аналітичним методами.

Графічний метод називають також методом проекцій. Він заснований на побудові третьої проекції (відгуку НЕ) за відомими двома: дії та характеристики . Такі нескладні побудови зроблено на рис. 4.7, де стрілками показано побудову характерних точок 1 - 7: максимуми, мінімуми, перетини з віссю абсцис. Проміжні точки будуються аналогічно. З рис. 4.7 видно, що відгук є періодичним, але значно відрізняється від гармонічного. Якщо розкласти відгук у ряд Фур'є, одержимо, що він має постійну складову і складові з основною частотою та її гармоніками . Фізична природа спотворень кривої відгуку проста: однаковим приростам дії відповідають неоднакові прирости відгуку, через те що крутість характеристики змінюється.

Метод n ординат. Це графічно аналітичний метод, при якому непотріб­на апроксимація характеристики НЕ. Метод дозволяє визначити перших складових спектра відгуку, при цьому інші вважаються малими. На практиці застосовуються методи трьох та п'яти ординат. Так, за мето­дом трьох ординат вважаємо, що відгук має три складові . На характеристиці НЕ (рис. 4.8) задаємо значення аргументу і знаходимо відповідні значення відгуку . В результа­ті дістаємо систему рівнянь

звідки

Метод кута відсічки. У цьому методі застосований кусково-лінійна
апроксимація характеристики НЕ. Форма відгуку знаходиться графічно
методом проекцій. Для НЕ з характеристикою (4.6)

при гармонічній дії з постійним зміщенням графічну побудову відгуку подано на рис. 4.9.

Форма відгуку має характерний вигляд косинусоїдних імпульсів із відсічкою. Ці імпульси характеризуються двома параметрами: висотою та шириною . Половина часу існування імпульсу називається кутом відсічки . Кут відсічки визначається з рівняння , тобто

. (4.8)

Висота (максимальне значення) імпульсу .

Спектральний склад таких періодичних імпульсів визначається за відомими формулами ряду Фур'є і досконало вивчений акад. А. І. Бергом. Постійна складова і амплітуди гармонік обчислюються за знайденими ним формулами

(4.9)

в які входять функції Берга (рис. 4.10) чи

(4.10)

Приклад 4.3. До діода КД103, характеристику якого подано на рис. 4.5, прикладено на­пругу . Знайти постійну складову та амплітуду першої гармоніки струму, що проходить через діод.

Параметри кусково-лінійної апроксимації діода були знайдені раніше (див. § 4.3): . Якщо підставити у формулу (4.8) , дістанемо і . Значення функції Берга знаходимо з рис. 4.10: . За формулами (4.9) та (4.10) знаходимо .

4.5. ДІЯ ПОЛІГАРМОНІЧНИХ КОЛИВАНЬ

НА НЕЛІНІЙНИЙ ТА ПАРАМЕТРИЧНИЙ ЕЛЕМЕНТИ

Комбінаційні частоти. У загальному випадку вхідна дія на НЕ може бу­ти представлена як сума гармонічних коливань

де - будь-які частоти, не обов'язково кратні; - число гармонічних коливань дії. Необхідно знайти амплітуди, частоти та фази всіх спектральних складових відгуку . Рішення цієї задачі, як правило, призводить до громі­здких математичних викладок. Але оскільки нелінійне (параметричне) коло перетворює спектр дії, відгук можна шукати у вигляді суми постійної складової та гармонічних складових із різними амплітудами , частота­ми та фазами :

Відгук у загальному випадку містить як частоти дії, так і нові часто­ти. Фізична природа появи у спектрі відгуку гармонік основної частоти була наведена в § 4.4. Крім гармонік, у спектрі відгуку з'являються також різно­манітні сумарні та різницеві частоти, які називаються комбінаційними. Так, при дії двох гармонічних коливань на квадратичний нелінійний елемент (див. приклад 4.4) у спектрі відгуку є гармоніки , сумарна та різнице­ва частоти. Усіх цих частот у дії не було.

Приклад 4.4. Знайти відгук НЕ з квадратичною ВАХ на дію .

Для заданої дії відгук . Якщо використати тригонометричні формули та , дістанемо

.

Кількість комбінаційних частот у спектрі відгуку досить велика, у прин­ципі нескінченна. Але для їх простого обчислення використовується така закономірність: комбінаційні частоти можна подати у вигляді

, (4.11)

де - будь-які цілі додатні числа, а також і нуль. Для обчислень комбінаційні частоти зручно групувати, тобто об'єднувати ті частоти, для яких

, (4.12)

де - порядок комбінаційної частоти. Знак модуля у формулі (4.11) указує на той факт, що фізично існують тільки додатні частоти.

Розрахунки комбінаційних частот (їх частоти, амплітуди, фази) найпрос­тіше провадяться, якщо ВАХ нелінійного елемента описано поліномом. При цьому слід ураховувати важливу закономірність: складова полінома зі степе­нем дає змогу обчислити комбінаційні частоти з максимальним порядком . Якщо - парне число, то у відгуку обчислюються постійна складова та комбінаційні частоти парних порядків: . Якщо непарне число, то у спектрі відгуку обчислюються частоти дії та комбінаційні частоти непарних порядків .

Крім того, сума коефіцієнтів при частотах у формулі (4.11) повинна до­рівнювати порядку комбінаційної частоти .

Таким чином, комбінаційні частоти виникають під час одночасної дії на НЕ не менше двох гармонічних коливань із різними частотами.

Примітка При апроксимації ВАХ нелінійного елемента поліномом n-го степеня можна обчислити у відгуку НЕ, як це показано вище, комбінаційні частоти порядку . Але це не означає, що у відгуку НЕ нема комбінаційних частот більш високого порядку. Вони можуть бути, але для їх обчислення необхідно апроксимувати ВАХ нелінійного елемента поліномом більш високого степеня.

Приклад 4.5. ВАХ нелінійного елемента описана поліномом, який має квадратичний та кубічний члени. Вхідна дія складається з трьох гармонічних коливань з частотами . Обчислити частоти спектра відгуку НЕ.

Оскільки в опис ВАХ нелінійного елемента входять другий та третій степені полінома, то у спектрі відгуку будуть постійна складова, гармоніки і комбінаційні частоти як парного, так і непарного порядків з . Обчислення їх провадимо за співвідношенням (4.11). Частоти першого порядку: . Гармоніки та комбінаційні частоти другого порядку: . Гармоніки та комбінаційні частоти третього порядку: .

Якщо користуватись принципом комбінаційних частот, можна досить легко обчислити частоти спектра відгуку НЕ. Але амплітуди складових цього спектра обчислюються відносно просто тільки при невеликій кількості частот у вхідній дії (одна, дві).

Бігармонічна дія. Сигнал, що містить два гармонічних коливання з рі­зними частотами та амплітудами , в радіотехніці прийнято називати б/гармонічнім. Відгук НЕ на дію бігармонічого сигналу містить у собі різноманітні комбінаційні частоти, амплітуди яких можна знайти, якщо скористуватись тригонометричними формулами добутку косинусів. Результати обчислень у разі опису ВАХ нелінійного елемента поліномом до третього степеня включно зведені в табл. 4.2. Значення постійної скла­дової і амплітуд різних частот визначаються як сума елементів відповідних рядків табл. 4.2.

За формулами табл. 4.2 можна визначити і складові відгуку нелінійного кола на гармонічну дію. Для цього потрібно амплітуду коливання з частотою прийняти нульовою, тобто .

За допомогою аналогічних розрахунків можна знайти і спектральний склад відгуку безінерційного лінійно-параметричного елемента на полігармонічну дію. Слід відзначити, що при цьому спектральний склад відгуку значно простіший, оскільки в ньому відсутні гармоніки частот дії та комбі­наційні частоти біля них. Тому лінійно-параметричні елементи та кола широко використовуються для формування модульованих сигналів, для перетворення частоти тощо.

Поиск по сайту: