Контурные уравнения

Из всех контуров схемы выбирают те, для которых можно составить наиболее простые независимые уравнения.

При этом можно руководствоваться таким правилом: каждое после­дующее уравнение будет независимо от предыдущих, если в данный контур входит хотя бы одна ветвь схемы, которая не входила в уже использованные контуры.

Можно доказать, что число независимых контурных уравнений для схемы, содержащей т ветвей и «узлов, составляет т — п +1

Для десяти контуров при т = 7 в данном случае независимых кон­турных уравнений можно составить четыре, т. е. столько, сколько необходимо для определения всех токов:

31. Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Основными законами, определяющими расчет электрической цепи, являются законы Кирхгофа.

На основе законов Кирхгофа разработан ряд практических методов расчета электрических цепей постоянного тока, позволяющих сократить вычисления при расчете сложных схем.

Преобразуют параллельные и последовательные соединения элементов, соединение «звезда» в эквивалентный «треугольник» и наоборот. Осуществляют замену источника тока эквивалентным источником ЭДС. Методом эквивалентных преобразований теоретически можно рассчитать любую цепь, и при этом использовать простые вычислительные средства. Или же определить ток в какой-либо одной ветви, без расчета токов других участков цепи.

Любая электрическая цепь, состоящая из Р рёбер (ветвей, участков, звеньев) и У узлов, может быть описана системой уравнений в соответствии с 1-м и 2-м законами Кирхгофа. Число уравнений в такой системе равно Р, из них У–1 уравнений составляется по 1-му закону Кирхгофа для всех узлов, кроме одного; а остальные Р–У+1 уравнений – по 2-му закону Кирхгофа для всех независимых контуров. Поскольку независимыми переменными в цепи считаются токи рёбер, число независимых переменных равно числу уравнений, и система разрешима..

Метод контурных токов основан на очень простом и удобном способе выделения в цепи Р–У+1 независимых токов. Метод контурных токов основан на допущении, что в каждом из Р–У+1 независимых контуров схемы циркулирует некоторый виртуальный контурный ток. Если некоторое ребро принадлежит только одному контуру, реальный ток в нём равен контурному. Если же ребро принадлежит нескольким контурам, ток в нём равен сумме соответствующих контурных токов (с учётом направления обхода контуров). Поскольку независимые контура покрывают собой всю схему (т. е. любое ребро принадлежит хотя бы одному контуру), то ток в любом ребре можно выразить через контурные токи, и контурные токи составляют полную систему токов.

32. В основе метода лежит принцип суперпозиции (наложения): ток в любой ветви сложной электрической цепи, содержащей несколько ЭДС, может быть найден как алгебраическая сумма токов в этой ветви от действия каждой ЭДС в отдельности.

Это весьма важное положение, справедливое только для линейных цепей, вытекает из уравнений Кирхгофа и утверждает независимость действия источников энергии. Основанный на нем метод сводит расчет цепи, содержащей несколько ЭДС, к последовательному расчету схем, каждая из которых содержит только один источник. Например, токи в схеме на рис. 1.10, а находятся как алгебраические суммы частичных токов, определяемых из схем 1.10, б и в

При расчете подобных схем очень удобным оказывается следующий прием. Пусть требуется определить токи в параллельных ветвях при известном суммарном токе (рис. 1.11).

Из полученной формулы вытекает правило: ток в одной из двух параллельных ветвей равен произведению общего тока на сопротивление соседней ветви, деленному на сумму сопротивлений параллельных ветвей.

Применение этого правила избавляет от необходимости определять напряжения Uab` и Uab`` в схемах на рис. 1.10, б и 1.10, в. Так, после определения тока I1`, токи I2` и I3` можно найти по формулам:

33. Метод эквивалентного генератора используется при расчёте сложных схем, в которых одна ветвь выделяется в качестве сопротивления нагрузки, и требуется исследовать и получить зависимость токов в цепи от величины сопротивления нагрузки.

В соответствии с данным методом неизменная часть схемы преобразовывается к одной ветви, содержащей ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора.

Применение метода эквивалентного генератора

ЭДС эквивалентного генератора определяется по формуле:

Для определения эквивалентного сопротивления генератора применяется расчет последовательно и параллельно соединённых сопротивлений, а также, в случае более сложных схем, применяют преобразование треугольник-звезда.

После определения параметров эквивалентного генератора можно определить ток в нагрузке при любом значении сопротивления нагрузки по формуле:

Любой сколь угодно сложный активный двухполюсник можно представить эквивалентным генератором, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах двухполюсника, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны тех же зажимов.При определении входного сопротивления все источники должны быть заменены своими внутренними сопротивлениями – источники ЭДС закорачиваются, а источники тока размыкаются.

34. Узловыми напряжениями называют напряжения между каждым из (k-1) узлов и одним произвольно выбранным опорным узлом. Потенциал опорного узла принимается равным нулю. На схеме такой узел обычно отображают как заземленный.

Сущность метода заключается в том, что вначале решением системы уравнений определяют потенциалы всех узлов схемы по отношению к опорному узлу. Далее находят токи всех ветвей схемы с помощью закона Ома по формуле (1.16).

Расчет сложных электрических цепей методом узловых напряжений производят в следующей последовательности:

Вычерчиваем принципиальную схему и все ее элементы.

На схеме произвольно выбирают и обозначают опорный узел. В качестве опорного желательно выбирать узел, в котором сходится максимальное количество ветвей.

Произвольно задаемся направлением токов всех ветвей и обозначаем их на схеме.

Для определения потенциалов остальных (k-1) узлов по отношению к опорному узлу составляем следующую систему уравнений:

Решаем любым методом полученную систему относительно узловых напряжений и определяем их.

Далее для каждой ветви в отдельности применяем закон Ома (1.16) и находим все токи в электрической цепи.

35. При расчете электрической цепи методом узловых потенциалов определяются потенциалы узлов цепи, а затем по закону Ома токи в ее ветвях. Метод целесообразно применять в тех случаях, когда число узлов цели меньше или равно числу независимых контуров этой цепи. Так, для электрической цепи, имеющей четыре узла, составляется три расчетных уравнения (например, для узлов 1, 2 к 3 потенциал узла 4 принимается равным нулю):

где φk - искомый потенциал K-го узла цепи (K = 1,2, 3)

Gkk- (G11, например) собственная (узловая) проводимость k-го узла, равная сумме проводимостей всех ветвей, присоединенных к этому узлу;

Gkm -(G12, например) взаимная (межузловая) проводимость узлов k и m, равная суше проводимостей ветвей, включенных непосредственно между этими узлами;

Jyk (Jy1, например) - узловой ток к-го узла, определяемый из выражения:

Под знаком первой суммы произведения ЭДС ветвей, присоединенных к К-му узлу, на проводимости этих ветвей учитывается ЭДС с положительным (отрицательным) знаком, если она направлена к К-му узлу (от К-го узла). Под знаком второй суммы со знаком «+» ("-"} учитываются токи источников тока, которые направлены к К-му узлу (от К-го узла).

Если в цепи между двумя узлами включен идеальный источник ЭДС (внутреннее сопротивление которого равно нулю), необходимо принимать равным нулю потенциал одного из его зажимов, тогда потенциал другого зажима источника будет равен ЭДС с

соответствующим знаком, а количество расчетных уравнений сократится.

Последовательность расчета цепи методом узловых, потенциалов рас-

смотрим на примере. Параметры цепи считаются заданными.

36. 37. Треугольник и звезда сопротивлений имеют вид, показанный на рис. 1.13.

Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. В этом случае говорят, что схемы эквивалентны.

Можно показать, что условием эквивалентности являются следующие уравнения:

Например, сопротивление звезды R1, присоединенное к узлу 1, получается перемножением сопротивлений R12 и R31 треугольника, присоединенных к этому же узлу, и делением полученного произведения на сумму всех сопротивлений треугольника.

При обратном преобразовании сопротивление треугольника R12, лежащее между узлами 1 и 2, равно сумме сопротивлений звезды R1 и R2, присоединенных к этим узлам, плюс их произведение, деленное на сопротивление третьего луча звезды R3.

38. Цепь называют нелинейной, если хотя бы один из её элементов обладает нелинейной характеристикой.

Активные нелинейные сопротивления характеризуются вольтамперной характеристикойХарактеристики элементов могут быть симметричными и несимметричными. Они располагаются в первом и в третьем квадрантах. У нелинейных элементов их сопротивление зависит от напряжения r(u) или от тока, r(i).

Примером активного нелинейного сопротивления является полупроводниковый диод.

Его вольтамперная характеристика (ВАХ) несимметрична (рис. 4.2) и содержит рабочие (сплошная линия) и нерабочие зоны (штриховая линия). На электрических схемах диод изображается, как показано на рис. 4.3. Он относится к неуправляемым элементам.

Примером управляемого активного нелинейного сопротивления является транзистор (рис. 4.4). Током базы (Б) изменяют сопротивление между эмиттером (Э) и коллектором (К).

39. Примеры неуправляемых НС: лампы накаливания, электрическая дуга, бареттер, стабиловольт, нелинейное полупроводниковое сопротивление (НПС), диоды и др. Примеры управляемых НС: электронные лампы, транзисторы, тиристоры.

Если к нелинейному элементу приложить постоянные напряжения, то он будет характеризоваться статическими параметрами.

Для диода статическое сопротивление определяется просто как отношение приложенного напряжения к соответствующему току: . (Рис. 20)

Для триода, заданного семейством ВАХ, статический режим определяется постоянными токами и напряжениями как во входной, так и в выходной цепях (точка А на рис. 21). Можно говорить о входном и выходном статических сопротивлениях в точке А.

Динамическим сопротивлением называется отношение малых приращений (производная) напряжения к току в рабочей точке рис. 22. Определяется наклоном касательной. Разные положения рабочей точки характеризуют различную величину динамического сопротивления.

40. При последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается ток, протекающий через последовательно соединенные элементы. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ отдельных резисторов в системе декартовых координат строится результирующая зависимость . Затем на оси напряжений откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине напряжения на входе цепи, из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью . Из точки пересечения перпендикуляра с кривой опускается ортогональ на ось токов – полученная точка соответствует искомому току в цепи, по найденному значению которого с использованием зависимостей определяются напряжения на отдельных резистивных элементах.

Применение указанной методики иллюстрируют графические построения на рис. 2,б, соответствующие цепи на рис. 2,а.

Графическое решение для последовательной нелинейной цепи с двумя резистивными элементами может быть проведено и другим методом – методом пересечений. В этом случае один из нелинейных резисторов, например, с ВАХ на рис.2,а, считается внутренним сопротивлением источника с ЭДС Е, а другой – нагрузкой. Тогда на основании соотношения точка а (см. рис. 3) пересечения кривых и определяет режим работы цепи. Кривая строится путем вычитания абсцисс ВАХ из ЭДС Е для различных значений тока

41. 41. При последовательном соединении ток обоих участков одинаков, а U=U₁+U₂. Для построения общей ВАХ достаточно сложить эти напряженности. Выберем на оси у какие-то значения тока и проведем прямую параллельную оси х. Отрезок 1-2 и 1-3 в выбранном масштабе выражает U₁ и U₂ на участках. Сложив эти отрезки на той же прямой получим току 4 общей ВАХ. Для других значений тока можно также найти ряд точек через которые проходят общие ВАХ.

42. 42. При параллельном соединении двух нелинейных эл-тов к ним приложено одно и тоже напряжение, а ток в неразветвленной цепи равен сумме токов в ветвях, I=I₁+I₂. Для построения общей ВАХ необходимо для ряда значений у сложить ординаты ВАХ эл-тов, при напряжении U проведем через точку 1 линию параллельную оси у. Определяем точки 2,3,4 и через точку 4 проводим ВАХ.

43. Электрическая емкость проводника есть величина, характеризующая способность проводника накапливать эл.заряд, численно равная отношению заряда проводника к его потенциалу: С=Q/V. Единица емкости С= [Ф] (фарад).Конденсаторы-устройства из двух излированных друг от друга проводников,которые получают равные по величине,но противоположные по знаку заряды. Конденсаторы служат для накопления и сохранения эл.поля и его энергии.44.

45. Электрическое поле уединенного заряженного тела

Из закона Кулона следует, что напряженность электрического поля уединенного точечного заряженного тела

где Q — величина заряда тела; Q₀ — заряд пробного тела; r — расстоя­ние от заряженного тела до точки, в которой определяется напряжен­ность поля.

Электрическое поле уединенного точечного заряженного тела не­равномерно. Найдем потенциал поля в некоторой точке 1 (см. рис. 7.3), используя выражение (1.3), с помощью которого выразим работу в поле на пути от некоторой точки 1 до бесконечности

Напряжение между точками 1 и 2

Между напряженностью электрического поля,и потенциалом в некоторой топке имеется определенная связь, которую выразим в общем виде.

Знак минус в этих выражениях указывает на то, что энергия убы­вает, если перемещение происходит в направлении напряженности поля. Отсюда Е_п = - (dV)/(dl), E_n — величина проекции вектора Е на направление dl

46. Электрическое поле группы заряженных тел

При рассмотрении электрического поля в вакууме (а также в воз­духе) установили, что напряженность поля линейно зависит от заряда тела Q = const. Для определения общей напряженности нужно найти величину и направление вектора напряженности каждого из составляющих полей, а затем сложить векторы: E=E₁+E₂+…E_n.. Принцип наложения действителен и при определении потенциала в некоторой точке результирующего поля, но потенциалы складываются алгебраически т.к. они скалярные в-ны

47. 47.Электрическая емкость проводника есть величина, характеризующая способность проводника накапливать эл.заряд, численно равная отношению заряда проводника к его потенциалу: С=Q/V. Единица емкости С= [Ф] (фарад).

Конденсатор называется плоским,если его обкладками явля­ются две плоскопараллельные металлические пластины. Обычно расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, поэтому электрическое поле плоского конден­сатора можно считать равномерным.

Емкость плоского конденсатора

48. 48.Электрическая емкость проводника есть величина, характеризующая способность проводника накапливать эл.заряд, численно равная отношению заряда проводника к его потенциалу: С=Q/V. Единица емкости С= [Ф] (фарад).

Обкладками цилиндрического конденсато­ра служат две цилиндрические поверхности, оси которых совпадают (рис. 7.11). Электри­ческое поле неравномерное, но имеет радиаль­ную симметрию.

Полагая и в этом случае расстояние между обкладками малым по сравнению с длиной конденсатора. Обозначим радиусы обкладок: внутренней — г_ъ внешней — г₂; по­тенциалы— V_x и V₂- Потенциал внутренней обкладки можно найти, если к потенциалу V₂ прибавить работу по перемещению за­ряженных частиц между обкладками конденсатора, отнесенную к единице заряда.

Напряженность электрического поля на пути между обкладками не постоянна, поэтому работу определим как сумму работ на элемен­тарных участках пути dr, столь малых, что в пределах таких участков напряженность поля можно считать постоянной.

Напряжение между обкладками

Емкость цилиндрического конденсатора

49. 49.Электрическая емкость проводника есть величина, характеризующая способность проводника накапливать эл.заряд, численно равная отношению заряда проводника к его потенциалу: С=Q/V. Единица емкости С= [Ф] (фарад).

Емкость двухпроводной линии

Определим емкость двухпроводной линии, у которой радиус про­водов г₀, расстояние между осями проводов а, длина проводов I, на­пряжение между проводами U, а заряд этой системы проводов Q (рис. 7.12).

При а»r₀ будем полагать, что заряд каждого провода распределен равномерно по 4го поверхности. Это значит, что взаимное влияние проводов на распределение зарядов по поверхности не учитывается.

Для определения разности потенциалов между проводами воспользуемся формулой (7.14). В некоторой точке А, находящейся между проводами в плоскости, проведенной через их оси, напряженность поля:

Заряды проводов имеют противоположные знаки, поэтому между проводами векторы Е_х и Е₂ направлены в одну сторону. Общая на­пряженность поля в точке А

Напряженность поля зависит от расстояния r, поэтому напряжение между проводами:

51. При параллельном соединении общая емкость конденсаторов складывается, а допустимое напряжение всего набора будет равно напряжению конденсатора, имеющего самое низкое значение допустимого напряжения из всего набора.

С = Cl + С2 +...+Сп

52. Поток с1ФЕ вектора напряженности Е через малую площадку dS есть скалярное произведение векторов Е и dS

Поток вектора напряженности Е через площадку dS записывается в виде

53.

Теореме Гаусса: Поток вектора напряженности эл.поля сквозь замкнутую поверхность в вакууме равен отношению эл.заряда заключенного внутри этой поверхности к электрической постоянной. Применяется отдельно для вычисления электростатических полей.

Теорема Гаусса: Поток вектора напряженности эл.поля сквозь замкнутую поверхность в вакууме равен отношению эл.заряда заключенного внутри этой поверхности к электрической постоянной. Плос-ть заряжена с постоянной поверхностной плотностью +q

Согласно теореме Гаусса 55

55.

Теорема Гаусса: Поток вектора напряженности эл.поля сквозь замкнутую поверхность в вакууме равен отношению эл.заряда заключенного внутри этой поверх-ти к электрической постоянной. Для нахождения напр-ти внутри шара применим т. Гаусса для

сферической поверх-ти радиусом r<R. По теореме Гаусса

56. Теорема Гауса: поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность в вакууме равен отношению электрического заряда заключается внутри этой поверхности к эл. Постоянной.

57.

Магнитное поле — силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом, независимо от состояния их движения'¹¹, магнитная составляющая электромагнитного поля^(2].

Магнитное поле может создаваться током заряженных частиц и/или магнитными моментами электронов в атомах (и магнитными моментами других частиц, хотя в заметно меньшей степени) (постоянные магниты).

Кроме этого, оно появляется при наличии изменяющегося во времени электрического поля.

Закон Ампера: Сила, с которой магнитное поле действует на элемент проводника с током, находящегося в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока в проводнике и векторному произведению элемента длины

проводника на магнитную индукцию

58.

При движении магнита относительно катушки в катушке возникает электрический ток. Но известно, что электрический ток возникает только при наличии (=возникновении) электрического поля. Естественно предположить, что причиной возникновения этого электрического поля является магнитное поле, но не стационарное, а меняющееся во времени. Если представить себе постоянный магнит и виток провода, движущийся так, что виток как бы надевается на магнит, то, представив себе линии магнитного поля, можно понять, что электрическое поле появляется по причине того, что меняется количество силовых линий магнитного поля, пронизывающих данный виток провода. Итак, магнитное поле может стать причиной появления электрического поля. Свои основные эксперименты, связанные с этим явлением, Майкл Фарадей провёл в течение одного месяца в 1831 году.

В замкнутом проводящем контуре возникает ток при изменении числа линий магнитной индукции, пронизывающих поверхность, ограниченную этим контуром. Чем быстрее меняется число линий магнитной индукции, тем большей силы ток возникает. Ток называется индукционным (от английского to induce - наводить). При этом причина изменения числа магнитных линий не имеет никакого значения - это может быть случай, когда магнит неподвижен, но движется катушка и, наоборот, когда катушка статична, а движется магнит, а также - когда меняется густота линий магнитной индукции при резком увеличении силы тока в катушке, выполняющей роль "источника" магнитного поля, когда обе катушки неподвижны относительно друг друга. Итак, явлением электромагнитной индукции называется явление возникновения электрического индукционного тока в проводящем контуре, который либо покоится во внешнем переменном магнитном поле, либо движется во внешнем магнитном поле при условии, что число линий магнитной индукции, пронизывающих этот контур, меняется во времени.

Сформулируем закон электромагнитной индукции количественно. Опыты Фарадея показали, что сила индукционного тока h,

в проводящем контуре пропорциональна скорости изменения числа линий магнитной индукции пронизывающих поверхность, ограниченную этим контуром. Более точно это утверждение можно сформулировать, используя понятие «магнитный поток».

59.

60.

Если в поле (или электромагнита) поместить проводник с током, который создает свое собственное магнитное поле, то оба магнитных поля, взаимодействуя между собой, создадут силу, которая стремиться вытолкнуть проводник из поля. Как видно на рисунке №1 А, магнитные силовые линии поля и проводника слева от него совпадают по направлению и их полностью здесь больше, чем справа от проводника где магнитные силовые линии проводника идут навстречу линиям поля и ослабляют одна другую. Проводник выталкивается из магнитного поля вправо. Если изменить направление тока в проводнике (рисунок №1 Б), то направление силы также изменится.

Поиск по сайту: