Виды и формы средних, наиболее часто применяемые в статистике

В зависимости от задач, решаемых в ходе обработки статистической информации и её анализа, а также исходя из особенностей изучаемых явлений, в статистике наиболее часто применяются следующие виды средних величин: арифметическая, гармоническая, квадратическая, хронологическая, геометрическая, структурные средние - мода и медиана.

Первые четыре вида средних исчисляются в двух формах: простой и взвешенной.

1. Средняя арифметическая простая применяется, когда варианты представлены индивидуально в виде их перечня в любом порядке или в виде ранжированного рада и рассчитывается по формуле:

(1)

Пример. Доходы пяти банков по операциям с ценными бумагами за отчетный период составили 0,5; 0,9; 1,2; 1,5; 1,9 млн. руб. Определить средний доход банка по данной операции.

Решение:

т.е. в среднем на один банк доход по операциям с ценными бумагами составил 1,2 млн. руб.

2. Средняя арифметическая взвешенная применяется в тех случаях, когда

· данные сгруппированы;

· известны варианты и частоты.

Рассчитывается по формуле:

(2) Пример. Известны данные по предприятию:

Цеха предприятия	Число рабочих (f)	Средняя заработная плата одного рабочего, тыс. руб. (x)	Фонд заработной платы, тыс. руб. (x
Итого		-

Решение:

Находим среднюю арифметическую взвешенную, предварительно заполнив графу 4 в таблице:

т.е. средняя заработная плата одного рабочего по предприятию в целом составляет 14 тыс. руб.

В качестве весов могут быть использованы относительные величины, выраженные в %, (d).

Метод расчёта средней не изменится:

(3)

Если проценты заменить коэффициентами (), то

. (4)

Расчет средней для интервального ряда распределения производится по формуле средней арифметической взвешенной. При этом к качестве принято брать середину интервала, исходя из предположения о равномерном распределении единиц совокупности на данном интервале. Середину интервала находят как полусумму значений его нижней и верхней границ (при условии, что верхняя граница данного интервала совпадает с нижней границей следующего интервала).

Средние, исчисленные на основе интервального ряда, являются приближенными. Их значения, как правило, не совпадают со средними арифметическими, вычисленными на основе исходных данных. Это вызвано тем, что сделанное допущение о равномерном распределении значений на интервале не всегда выполняется.

Степень точности зависит от того, в какой мере распределение единиц внутри интервала приближается к такому распределению, для которого средняя арифметическая взвешенная совпадает с серединой интервала. Точность средней зависит также от длины интервала. Чем уже интервал, тем меньше ошибка, вызванная тем, что середина интервала принимается в качестве среднего его значения. При неравных интервалах точность средней меньше, чем при равных.

Порой при исчислении средних величин пользуются не значениями отдельных вариант, а их обратными величинами. Форма средней, используемая при этом носит название средней гармонической. Она также может быть простой и взвешенной.

3. Средняя гармоническая простая выражается формулой:

, (5),

где 1/х - обратное значение вариант, п - число вариант из которых

рассчитывается средняя.

Пример. Наблюдая в течение одного часа за работой пяти рабочих, мы получили следующие данные о затратах ими рабочего времени на изготовление одной детали (х) в часах: 0,2; 0,3; 0,4; 0,4; 0,5. Требуется рассчитать среднее время, затрачиваемое одним рабочим на изготовление детали.

Решение:

Для этого необходимо располагать данными об общих затратах времени всех 5 рабочих и количестве выработанных за это время деталей, т.е.

Среднее время на изготовление = Общие затраты времени (час.)

Общие затраты времени составляют 5 часов. Первый рабочий выработал за 1 час 1/0,2 = 5 деталей, второй - 1/0,3 =3,3 детали, третий и четвёртый по 1/0,4= 2,5 детали, а пятый 1/0,5=2 детали, все вместе они выработали 15,3 детали. Если все расчёты записать по формуле, то последняя и будет представлять собой среднюю гармоническую простую:

4. Средняя гармоническая взвешенная применяется:

· когда данные сгруппированы;

· когда есть варианты, но нет частот, а вместо них имеются данные о произведении вариант на частоты .

Пример. Известны рыночные цены и объемы продаж однотипных фирм в одном из регионов РФ в первом квартале исследуемого года:

№ фирм	Цена, тыс. руб.,	Объемы продаж, млн. руб. (M=xf)
		3,3
		2,8
		2,5

Определить среднюю цену на условный товар, продаваемый этими фирмами.

Решение:

Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по формуле:

, (6)

Так как данные о количестве проданного товара отсутствуют, то их можно получить через отношение объема продаж к цене. Таким образом, расчетная формула средней цены примет следующий вид:

т.е. средняя цена на условный товар по трем фирмам составит 307 тыс. рублей.

5. Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени из произведений отдельных значений – вариантов признака .

, (7)

где n – число вариантов; П – знак произведения.

Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака обычно представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение каждого уровня ряда к предыдущему уровню.

5. Средняя квадратическая.

Для несгруппированных данных используют формулу средней квадратической простой:

(8)

Для сгруппированных данных – формулу средней квадратической взвешенной:

(9)

Средняя квадратическая применяется, когда изучается вариация признака. В качестве вариантов используются отклонения фактических значений признака от средней арифметической.

В практике, чтобы не ошибиться в выборе формулы расчёта средней, необходимо исходить из экономического содержания рассчитываемого показателя.

Средняя арифметическая является одной из основных характеристик вариационного ряда распределения. Она даёт представление о том, вокруг какого центра группируются все варианты ряда.

Наряду с рассмотренными показателями в качестве статистических характеристик вариационных рядов используются также структурные средние - мода и медиана. В отличие от средней арифметической, рассчитываемой на базе всей информации об изучаемом явлении, мода и медиана характеризуют величины вариант, занимающих определённое положение в ранжированном вариационном ряду.

Модой (Мо) называется наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности. Для дискретных рядов - это вариант с наибольшей частотой.

В интервальных вариационных рядах мода рассчитывается по формуле:

, ( 10)

где - нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота, соответствующая модальному интервалу

- предмодальная частота;

- послемодальная частота.

В интервальном ряду моду можно найти графически по гистограмме распределения.

Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника - с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

На практике нередко при характеристике совокупности в качестве обобщающего показателя отдается предпочтение моде, а не средней арифметической.

Так, при изучении цен на рынках фиксируется и изучается в динамике не средняя цена на определённую продукцию, а модальная; при изучении спроса населения на определённый размер обуви или одежды представляет интерес определение модального номера, а средний размер как таковой здесь вообще не имеет значения. Мода представляет не только самостоятельный интерес, но и выполняет роль вспомогательного показателя при средней, характеризуя её типичность. Если средняя арифметическая близка по значению к моде, значит, она типична и даёт близкое к действительности представление о средней величине признака у совокупности единиц.

Медиана (Me ) - соответствует варианте, стоящей в середине ранжированного ряда. Таким образом, в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значения признака больше медианы, другая – меньше медианы.

Чтобы найти медиану, сначала определяется её порядковый номер.

Для несгруппированных данных при нечётном числе единиц:

, (11)

при чётном количестве единиц: , (12)

где п - число изучаемых единиц.

Ряд с четным числом единиц делит пополам не одна, а две единицы совокупности. Медиана будет равна полусумме значений их признаков.

Для сгруппированных данных:

(13)

В дискретном ряду медиана находится непосредственно по определению на основе накопленных частот.

В интервальных рядах медиана определяется по формуле:

, (14)

где х_ме - нижняя граница медианного интервала;

i_Me - величина медианного интервала;

S_Me-1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

f_Me - частота медианного интервала.

Медиану можно определить графически по кумуляте. Для её определения, высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения её с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианой.

На практике при статическом контроле качества продукции лучше пользоваться медианой, так как для ранжированного ряда она не требует специального расчёта и не чувствительна к крайним значениям.

Для и характерны свойства:

(15)

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные по числу единиц части. Эти величины называются квартилями и обозначаются заглавной латинской буквой Q с подстрочным значком номера квартиля. Ясно, что Q₂ совпадает с М_е. Для первого и третьего квартилей используются формулы:

(16)

(17)

) – нижняя граница интервала, в котором находится соответственно первый (третий) квартиль;

i - величина интервала, в котором находится искомый квартиль;

- накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, в котором расположен первый (третий) квартиль;

- частота интервала, в котором расположен первый (третий) квартиль;

Значения признака, делящие ряд на пять равных частей называются квинтилями, на десять частей - децилями, на сто частей - перцентилями.