НА ОСНОВЕ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ МАТРИЦЫ

2.1. Оценка устойчивости решения системы линейных уравнений.

Методы определения числа обусловленности матрицы системы

Имеем систему линейных алгебраических уравнений:

А(1,1) × Х(1,0) = b(1,0). (1)

Правые части получили погрешность:

b₁(1,0) = b (1,0) + η (1,0). (2)

При наличии ошибок на входе, выходная величина также будет изменена:

Х1(1,0) = Х(1,0) + r(1,0). (3)

Если бы ошибок не было, то на выходе была бы величина Х.

А(1,1) ∙ r(1,0) = η (1,0) – уравнение ошибки. (4)

В уравнении (1) зададим Х с нормой, равной 1:

.

При этом норма b тоже будет изменяться:

,

m ≤ || b(1,0)|| ≤ M.

При произвольной норме наше уравнение перепишется в виде:

m || X(1,0)|| ≤ || b(1,0)|| ≤ M || X(1,0)||.

Тогда μ = – число обусловленности матрицы. Оно играет большую роль при выборе алгоритма обработки.

Перепишем уравнение с учетом изменений: вместо Х поставим r, а вместо b – η:

m || r(1,0)|| ≤ || η(1,0)|| ≤ M || r(1,0)||.

Имея эти два неравенства, найдем отношение:

, η – ошибка выхода.

Это неравенство показывает усиление ошибки со входа на выход.

А – матрица общего вида

Находим определитель матрицы и приравниваем к нулю.

Тогда:

.

,

.

Возьмем систему уравнений:

.

Изменим 1,95 и 1,92 на некоторую величину:.

Тогда Х1 = 3, Х2 = -1,06.

Графическое представление (качественное):

У

Х

Если бы прямые были ортогональны друг другу, то изменение правых частей привело бы к изменению решения:

У

Х

Вернемся к нашему примеру:

,

Матрица симметричная, из диагональных элементов вычитаем :

= 0

Как и следовало ожидать, система очень чувствительна к ошибке в задании правых частей системы уравнений.

Поиск по сайту: