Метод сингулярного разложения матрицы

Многоиндексные задачи линейного оценивания можно формализовать в виде многомерно-матричных уравнений

Y(p,0) = H(p,q)X(q,0) + V(p,0), (5)

где X(q,0) – столбец оцениваемых характеристик, или массивов; Y(p,0) – столбец наблюдений, или измерений; H(p,q) – известная матрица преобразования; V(p,0) – столбец ошибок измерений.

Матрица H⁺(q,p) может быть выражена через сингулярное разложение матрицы H(p,q).

Прямое и обратное сингулярные преобразования многомерной матрицы имеют вид

, (6)

, (7)

где U(p,p), V(q,q) – многомерные ортогональные матрицы собственных элементов для матриц H(p,q)HT(p,q) и HT(p,q) H(p,q) соответственно; l^1/2(p,q) – диагональная многомерная матрица сингулярных чисел H(p,q). Выражение для псевдообращения H(p,q) через сингулярное разложение запишется в виде

. (8)

Псевдообращение диагональных элементов l^1/2(p,q) означает вычисление их обратных значений, а для «нулевых» элементов (величина «нулевых» элементов меньше некоторого малого числа t) результат псевдообращения будет равен нулю. Основная трудность вычисления псевдообратной матрицы через сингулярное разложение заключается в нахождении матриц U(p,p), V(q,q). После определения многомерной псевдообратной матрицы псевдорешение многомерного уравнения (5) находится в виде

. (9)

Это решение минимизирует норму

.

2.3. Определение псевдообратной матрицы для произвольной матрицы на основе метода ортогонализации Грамма-Шмидта (ГШО)

1. Столбцы матрицы , которые обозначим , преобразуются методом ГШО в ортогональные векторы (не обязательно, чтобы они получились ортонормированными). Из множества этих векторов образуется матрица .

Ортогонализация столбцов матрицы методом ГШО производится по уравнениям ;

, (10)

где .

Здесь - норма вектора, определяемая выражением .

Сравнивая нормы векторов , принимают решение об обнулении вектора с малой нормой.

2. Столбцы матрицы переставляются с помощью матрицы перестановок таким образом, что

, (11)

где

Матрица перестановок может быть подобрана следующим образом. Если требуется поменять местами i – столбец и j – столбец, то в единичной - матрице нужно сделать следующие замены: ; . В общем случае матрица может включать произведение нескольких перестановочных матриц.

3. Столбцы исходной матрицы переставляются с помощью матрицы перестановок , применяемой в п.2. При этом получают новую матрицу со столбцами, которые обозначим, например, так:

;

.

4. Вычисляются вспомогательные коэффициенты

5. Вычисляется матрица размером с элементами

.

6. Вычисляется матрица размером с элементами

7. Вспомогательная матрица находится методом ГШО из столбцов матрицы , т.е. к столбцам матрицы, сформированной из двух матриц , , применяют процедуру, аналогичную процедуре (10), но с тем отличием, что после получения каждого ортогонального вектора, начиная с первого вектора, его нормируют путем деления всех компонентов вектора на его норму. Условно эту процедуру можно представить в виде следующей цепочки преобразований:

.

Здесь размер матриц ;

; ; .

8. Вычисляется матрица .

9. Используя матрицу, полученную в (11), вычисляем матрицу

.

10. С помощью вспомогательных матриц , , , , , вычисленных в пп. 2, 5, 6, 8, 9, определяется псевдообратная матрица

.

Оценка коэффициентов линейной регрессии определяется выражением .

Пример 1. Получение устойчивого решения системы линейных уравнений на основе использования псевдообратных матриц.

Система уравнений имеет вид

Её точное решение:

Рассмотрим систему с измененной правой частью:

Её точное решение: , т.е. решение неустойчиво.

Как и ранее, исследуем матрицу системы на обусловленность. Матрица в данном случае симметрична. Тогда на основании того, что , имеем

Обусловленность матрицы , т.е. матрица системы плохо обусловлена и необходимо применять методы повышения устойчивости решения. Рассмотрим два метода.

Поиск по сайту: