Методы аппроксимации на основе функций гибкой структуры

Параметрические методы аппрксимации сигналов, идентификации и анализа линейных систем управления широко распространены благодаря возможности получить корректное решение. В большинстве случаев корректности решения добиваются за счёт ограничения числа определяемых параметров, обеспечивающих минимум некоторого критерия близости модели и объекта. Удобной формой описания производственного процесса является представление его в виде некоторой функции заранее заданной структуры. Наблюдаемый процесс аппроксимируется функцией

, (3)

где (4)

и T1 – параметры, подлежащие определению. T1 выступает в роли масштабного коэффициента и оказывает существенное влияние на точность аппроксимации при ограниченном числе коэффициентов . Априорный выбор T1 не всегда обеспечивает достаточную точность аппроксимации.

За критерий близости исходного процесса и аппроксимирующей функции примем квадратичный критерий

. (5)

Можно подбирая параметры , i=1,2,…,N; , найти их значения, обеспечивающие минимум выбранного критерия (5). Однако этот путь сложный, длительный, так как потребует многократного численного вычисления интеграла (5).

Ставится задача – на основе оценок , определённых из условия минимума критерия (5) только при двух различных значениях , а именно и , определить «истинные» значения параметров процесса T1 и , .

При такой постановке задачи в качестве измеряемых величин выступают уже не значения наблюдаемого процесса, а оценки коэффициентов

(6)

и

, (7)

определённые из условия минимума критерия (5) при двух различных масштабах времени и , т. е. «измеряемые» величины могут быть представлены в виде:

, (8)

, (9)

где (10)

. (11)

Подставляя в уравнения (8), (9) вместо Y(t) его аппроксимирующее выражение из (3), получаем

, (12)

где (13)

. (14)

Задавшись некоторым значением из (12), определим оценку . Эта оценка зависит от двух параметров T21, .

, (15)

где (16)

Аналогично, задавшись тем же значением из (12), определим оценку . Эта оценка будет зависеть от двух параметров T22, .

. (17)

Здесь (18)

При оценки и совпадут (при отсутствии помех). На практике за истинное значение T1 принимается значение , при котором величина квадратичного критерия

Q=[ - ] [ - ]= (19)

принимает минимальное значение.

Коэффициенты матриц , i=1,2 зависят лишь от отношения T1/T21 в уравнении (16) и от отношения T1/T22 в уравнении (18). Матрицы могут быть протабулированы заранее для выбранной системы функций . Коэффициенты матриц для различных N в представлении (1) и для T22/T21=10 представлены в файле Масштаб.xls. Таким образом, алгоритм определения T1 сводится к последовательному вычислению выражений (15) и (17) при различных значениях и определению минимума критерия (19).

За истинное значение вектора целесообразно принять среднее значение двух оценок

= 1/2 [ + ] (20)

или ту оценку, которая соответствует значению T2i, ближайшему к T1. Однако желательно при найденном оптимальном значении Т1 произвести вычисление оценок .

Рассмотрим методику определения «истинного» масштаба T1 на следующем примере.

Наблюдаемый процесс имеет вид

, (21)

то есть С1=1; T1=6.

1. Задавшись =2 и =20, определяем векторы

,(22)

. (23)

Вычисления этих векторов могут производиться или непосредственно по формулам (8), (9) или значения этих векторов могут быть получены в результате эксперимента над исследуемым объектом.

(24)

. (25)

2. Придавая T1 значения T1=1,2,…,10, производим вычисления

. (26)

. (27)

. (28)

и т. д. (29)

3. При каждом значении T1 вычисляем ошибку в определении параметров (30)

и величину критерия . (31)

Результаты вычислений сведены в таблицу 2.

Таблица 2.

Результаты вычислений

T 1
	1,00000	5,50000	1,5	0,4615	1,50000	2,53825	-1,03825	1,07796
	0,75000	3,00000	1,12500	1,38450	-0,25950	0,06734
	0,66667	2,16667	1,00000	0,99992	0,00008	0,00000
	0,62500	1,75000	0,93750	0,80763	0,12988	0,01687
	0,60000	1,50000	0,90000	0,69225	0,20775	0,04316
	0,58333	1,33333	0,87500	0,61533	0,25967	0,06743
	0,57143	1,21429	0,85714	0,56039	0,29675	0,08806
	0,56250	1,12500	0,84375	0,51919	0,32456	0,10534
	0,55556	1,05556	0,83333	0,48714	0,34619	0,11985
	0,55000	1,00000	0,82500	0,46150	0,36350	0,13213

Значение T1, обеспечивающее минимальное значение критерия Q, обозначаем через TT.

В данном случае TT=3.

4. Вычисляем истинное значение T1 по формуле

T1=TT*T21. (32)

T1=3*2=6 (33)

=1/2*(1,0000+0,99992)=0,99996. (34)

Таким образом, функция имеет вид:

. (35)

Поиск по сайту: