Автомодельность

Автомодельность какого-либо явления означает автоматическое сохранение его подобия исходному явлению (оригиналу) независимо от абсолютных значений параметров элементов той системы, в которой данное явление протекает.

Формальный признак автомодельности выполнение условия m_э.с. £ k, где

m_{э.с .} - число параметров элементов системы.

Процессы, описываемые двучленными уравнениями, всегда автомодельны. Критерии подобия автомодельных процессов при моделировании служат не для расчета значений параметров элементов модели, а лишь для определения масштабов при любых значениях параметров элементов модели.

Признак автомодельности: процессы, протекающие в системах, из параметров которых нельзя составить ни одного безразмерного комплекса, являются автомодельными. При этом в представленные в критериальной форме дифференциальные уравнения и начальные условия войдут только выраженные в относительных единицах параметры, и процессы будут подобными при любых значениях параметров системы.

Пример автомодельности: Уравнение второго закона Ньютона f = Md²l/dt².

Уравнение содержит два члена (n = 2), четыре параметра (f, M, l, t), т.е. m = 4, и если оно записано в СИ, то q = 3. Согласно первой теореме подобия, число критериев подобия n - 1 = 1. Это единственный критерий

p = Ml/(ft²).

Так как критерий подобия один, то число m - k должно быть равно единице, следовательно, число независимых параметров k = 3. Действительно: формулы размерностей всех параметров:

[f] = [M]¹[L]¹[T]^-2; [M] = [M]¹[L]⁰[T]⁰;

[l] = [M]⁰[L]¹[T]⁰; [t] = [M]⁰[L]⁰[T]¹.

Матрица размерностей:

Общее число определителей третьего порядка:

C₄³ = 4!/[3!(4 - 3)!] = 4

ни один из них не равен нулю потому, что не ни один из них не содержит строку, являющуюся линейной комбинацией двух остальных. Следовательно, любые три из четырех параметров могут быть выбраны в качестве независимых (в том числе f и M), т.е. процессы, описываемые уравнением второго закона Ньютона, подобны при любых значениях f и M и, следовательно, автомодельны.

Пример к автомодельности: Включение R₁ L₁ цепи на постоянное напряжение u₁. Уравнение описываемого процесса

u₁ = i₁R₁ + L₁di₁ / dt₁.

Критерии подобия процесса имеют вид (один из возможных)

причем .

Для обеспечения второго процесса первому (исходному) необходимо, чтобы определяющие критерии в сходственные моменты времени были равны, т.е. чтобы

.

При любых заданных значениях L₂ и R₂ всегда можно удовлетворить этим условиям, соответствующим выбором величины t₂ и, следовательно,

m_t = t₁ / t₂.

Если R₁ / L₁ ¹ R₂ / L₂ или m_R / m_L ¹ 1, то и m_t = m_R / m_L ¹ 1.

Таким образом, при соответствующем выборе масштаба времени рассматриваемые два процесса будут подобны при любых значениях параметров элементов второй системы (R₂ L₂). Значение еще одного параметра второй системы u₂ никакого влияние на подобие процессов не оказывает, поскольку он входит в неопределяющий критерий. Следовательно, величина u₂ может быть любой, что также соответствует и тому, что u₂ входит в систему независимых параметров второго процесса.

Итак, при любых значениях параметров элементов системы (u, R, L) процессы в цепях RL оказываются подобными. Следовательно, эти процессы можно считать автомодельными. При этом необходимо учитывать ограничения, наложенные на выбор масштаба времени m_t.

Процессы, протекающие в цепях RLC, не могут быть полностью автомодельными, поскольку число независимых параметров меньше числа параметров системы.

Заключительный пример к теоремам подобия: Дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи из активного сопротивления R, индуктивности L и емкости C при включении на источник постоянного напряжения u

Для конкретного процесса следует задать значения параметров u, R, L, C и начальные условия i = 0 при t = 0. При этом по p - теореме из шести параметров (m = 6) три являются независимыми (k = 3), и, следовательно, число критериев подобия составляет m - k = 3, причем существует 15 форм записи трех критериев. Если независимые переменные u, C и t, получаются следующие критерии:

Пусть существуют два процесса, у которых критерии p₂ и p₃ равны. Покажем, что равенства этих критериев достаточно для подобия процессов. Если p₂ и p₃ соответственно одинаковы у двух процессов, то

R₁C₁/t₁ = R₂C₂/t₂; L₁C₁/t₁² = L₂C₂/t₂²,

или

Поскольку u, C и t - независимые параметры, то и масштабы можно выбрать произвольно. Отсюда масштабы сопротивлений и индуктивностей:

m_R = m_t/m_C; m_L = m_t²/m_C.

Если произвольно выбраны m_u, m_C и m_t и определены m_R и m_L, то при p₂ = p₃ масштаб токов m_i, будет таким, что всегда справедливо условие

m_i m_t/(m_u m_C) = 1.

Параметры первого процесса: u₁ = 500 В, R₁ = 30 Ом, L₁ = 2.62 Гн, C₁ = 2×10^-3 Ф. Зададимся m_u = 5; m_C = 0.4; m_t = 1. Тогда

m_R = m_L = 1/0.4 = 2.5,

и параметры второго процесса u₂ = u₁/m_u = 500/5 = 100 В; R₂ = R₁/m_R = 30/2.5 = 12 Ом; L₂ = L₁/m_L = 2.62/2.5 = 1.045 Гн; C₂ = C₁/m_C = 2×10^-3/0.4 = 5×10^-3 Ф.

При данных параметрах для сходственных моментов времени критерии p₂ и p₃ соответственно одинаковы для обоих процессов. Например, при t₁ t₂ = 0.125 c

p₂ = 30×2×10^-3/0.125 = 12×5×10^-3/0.125 = 0.480;

p₃ = 2.62×2×10^-3/0.125² = 1.045×5×10^-3/0.125² = 0/336.

Для обоих процессов R²C - 4L < 0 и, следовательно, решение исходного уравнения имеет вид

Ниже приведены результаты расчета значений токов i₁ и i₂. Соответствующие зависимости i = f (t) представлены на рисунке. Видно, что для сходственных моментов времени отношения токов постоянно: m_i = 2.

Таблица 4

Таким образом, равенство критериев подобия p₂ и p₃ оказывается достаточным для того, чтобы выполнялись условия, накладываемые на масштабы. Поскольку пропорциональность всех параметров существует и эти условия соблюдены, то рассматриваемые процессы подобны.

Поиск по сайту: