Теоретические сведения

СОДЕРЖАНИЕ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1

Проверки гипотез о независимости и случайности исходных данных для эконометрического моделирования

Вопросы для изучения

1. Статистические выводы и проверка гипотез. Ошибки 1 и 2 рода.

2. Двух – и односторонние критерии проверки.

Контрольные вопросы

1. Что такое нулевая и альтернативная гипотезы?

2. Что такое статистический критерий, уровень значимости?

3. Какова цель проверки гипотез?

4. Приведите общую схему проверки гипотез.

5. Чем отличаются проверка гипотезы о математическом ожидании нормальной случайной величины при известной и неизвестной дисперсиях?

6. Какая случайная величина применяется в качестве критерия проверки гипотезы о величине дисперсии нормальной случайной величины?

7. Какая случайная величина применяется в качестве критерия проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных случайных величин?

8. К проверке каких гипотез сводятся исследования среднего дохода населения и анализ разброса в уровне дохода?

Теоретические сведения

Пусть X и Y – две дискретные случайные величины, причем X принимает значения x ₁, x ₂, …, x_k с вероятностями p ₁, p ₂, …, p_k соответственно, а Y принимает значения y ₁, y ₂, …, y_l с вероятностями q ₁, q ₂,.., q_l соответственно (естественно , ).

Как известно из теории вероятностей, случайные величины X и Y являются независимыми тогда и только тогда, когда справедливо следующее соотношение для любых i и j:

P (X = x_i, Y = y_j) = P (X = x_i) * P (Y = y_j) = p_i * q_j, , .

Итак, пусть результатом эксперимента является двумерная выборка объема n – совокупность n пар (x_i, y_j). Если у случайной величины X k различных значений, а Y может принять l разных значений, то всего возможно k * l разных сочетаний вида (x_i, y_j). Обозначим частоту каждого сочетания через n_ij. Одновременно можно определить n_i как частоту значения x_i, а m_j – частоту значения y_j.

Очевидно, что , , .

Результаты эксперимента удобно представить в виде корреляционной таблицы размера l * k (таблица 1).

Нулевая гипотеза H ₀ состоит в том, что случайные величины X и Y независимы, обратная H ₁ – соответственно в том, что X и Y являются зависимыми случайными величинами.

Таблица 1.1 – Корреляционная таблица

	x 1	x 2	…	xk
y 1	n 11	n 12	…	n 1 k	m1
y 2	n 21	n 22	…	n 2 k	m2
…	…	…	…	…	…
yl	nl 1	nl 2	…	nlk	m l
	n 1	n 2	…	nk

Если H ₀ верна, то вероятность появления каждой пары (x_i, y_j) равна произведению p_i * q_j, а математическое ожидание числа появлений пары в n независимых испытаниях равно произведению n * p_i * q_j.

Тогда случайную величину (при условии справедливости нулевой гипотезы, причем все математические ожидания
n * p_i * q_j ≥ 4) можно считать распределенной по закону с числом степеней свободы v = (k – 1)(l – 1). Зная уровень значимости α и число степеней свободы v, можно найти критическое значение статистики и сравнить его с экспериментальным значением критерия , определенным по выборке. Если < , то гипотеза H ₀ о независимости случайных величин не отвергается, иначе нулевая гипотеза отклоняется.

Необходимо сделать несколько замечаний.

1. Вероятности p_i, q_j обычно неизвестны. Поэтому они оцениваются по выборке:

, .

2. Если произведения n * p_i * q_j < 4, то соответствующие им строки и столбцы должны быть объединены с соседними строками и столбцами.

3. Если v = (k – 1)(l – 1) ≥ 8 и n ≥ 40, то минимально допустимое значение ожидаемых частот может быть равным единице.

4. Формулу, по которой вычисляется значение статистики , можно упростить. Если вероятности p_i, q_j оцениваются по выборке, тогда:

так как , .

Можно выделить тесты проверки независимости последовательности псевдослучайных чисел.В основе этих методов лежит представление полученных псевдослучайных чисел в качестве реализации дискретного стационарного случайного процесса х (t).

Для количественной оценки степени некоррелированности последовательности псевдослучайных чисел применяется способ, заключающийся в определении коэффициента корреляции ρ (ε_i,i) между элементом ε_i последовательности и его номером i:

.

Если при заданном уровне значимости β:

,

где ρ _max – верхняя граница доверительного интервала, а z_β определяется через функцию Лапласа:

2Ф(z_β) = β,

то считается, что имеет место корреляционная связь между псевдослучайными числами. В противном случае можно принять гипотезу об их независимости.

При проверке на случайность исходных данных можно использовать совокупность тестов, а именно тесты проверки:

- частот;

- пар;

- комбинаций;

- серий;

- корреляции.

Тест проверки частот предполагает разбиение диапазона распределения на несколько интервалов и подсчет количества (частот или вероятностей) попаданий случайных чисел в выделенные интервалы.

Тест проверки пар заключается в подсчете количества совпадений для каждого разряда всей совокупности случайных чисел.

Тест проверки комбинаций сводится к подсчету совпадений в случайных числах.

Тест проверки серий заключается в подсчете количества различных длин последовательностей одинаковых значений.

Тест проверки корреляции заключается в определении коэффициента корреляции между последовательностями случайных чисел.

Тест проверки серий предусматривает разбиение случайных цифр в исследуемой последовательности на элементы двух родов – первого и второго.

Серией называется любой отрезок последовательности цифр, состоящий из следующих друг за другом элементов одного и того же рода. Например, если в последовательности цифр и , то цифры образуют серию первого рода длины k, цифры образуют серию второго рода длины l и цифры также образуют серию первого рода длины s – k – l. Иногда для удобства элементы серий первого рода обозначают знаками "–" (минус), а второго рода – знаками "+" (плюс). В этом случае рассматриваемая последовательность будет иметь такой вид: (– –…–) = k минусов, (++…+) = l плюсов, (– –…–) = s – k – l минусов.

Подсчитаем количество z_l серий второго рода длины l в последовательности псевдослучайных цифр . Пусть l = 1, 2,...., m и z'_{m +1}– количество серий второго рода с l ³ m + 1 (они объединяются в одну группу). Обозначим общее количество серий через:

z = z ₁ + z ₂ + … + z_m + z'_{m +1}.

Величина с m степенями свободы вычисляется по формуле:

,

где .

Если, с заданным уровнем значимости b, значение попадает в доверительный интервал (, ), то тест проверки серий удовлетворяется.

В практике встречается также другая разновидность теста проверки серий, когда к элементам серий первого рода относят цифры, меньшие 0,5, а к элементам серий второго рода – не меньшие 0,5.

При достаточно большом объеме выборки (практически при N ³ 20) и уровне значимости b = 0,95 нижний предел z^Н общего числа серий равен:

,

а нижний предел числа серий элементов первого и второго родов равен:

.

Максимальная длина серий не должна быть больше, чем:

.

Поиск по сайту: