Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Решать подобную систему можно методом исключения неизвестных (подстановкой). Это сложно и долго. Велика вероятность ошибок. Надо быть предельно внимательным, четко записывать промежуточные результаты для последующего контроля.

Предлагается решить эту систему методом Крамера. Этот метод предложен для решения системы линейных уравнений с помощью ЭТ Excel.

Сущность этого метода заключается в следующем:

1. Записываем матрицу коэффициентов при неизвестных (матрица А). Напомним, что коэффициенты при неизвестных – энтальпии в узловых точках тепловой схемы, которые уже определены ранее (табл. 3).

2. Записываем матрицу свободных членов (матрица В). Эта матрица будет состоять из нулей и комбинации известных (заданных, принятых) расходов и энтальпий.

3. Умножаем матрицу, обратную матрице А (A’), на матрицу свободных членов (В). Это делается с помощью ЭТ Excel.

4. На свободном месте Листа Excel выделяем ячейку, под которой будет столбец результата произведения по п.3 (столбец решения). Размер этого столбца соответствует размеру столбца свободных членов.

5. Находясь на первой ячейке столбца решения, записываем формулу решения произведения двух матриц. В Excel-е эта формула записывается в строке формул, и имеет вид:

=МУМНОЖ(МОБР(А618:F627);J618:J627)

Здесь А618:I627 – размер поля (левая верхняя и правая нижняя ячейки) матрицы А, J618:J627 – поле (верхняя и нижняя ячейки) матрицы свободных членов.

Писать формулу в строке формул желательно вручную. После записи формулы, находясь в верхней ячейке матрицы решений, надо нажать клавиши Ctrl+Shift+Enter.

6. Столбец произведения двух матриц и есть решение системы уравнений (расходы в элементах схемы). Надо оценить результат решения. В нем не должно быть отрицательных значений (расходов).

Обратите внимание на то, чтобы каждый столбец матрицы А соответствовал одному и тому же неизвестному. Если это неизвестное отсутствует в другом уравнении теплового баланса, то в ячейке этого столбца должен стоять нуль.

Кроме того, очень важно внимательно делать ссылки на величины ранее вычисленных энтальпий. Не вписывайте их численные значения вручную (делайте ссылки на ячейки, где записаны или вычислены соответствующие энтальпии), т.к. в последующем Вы не сведете баланс расходов с заданной нагрузкой. Ошибки в записях коэффициентов при неизвестных приводят к получению отрицательных расходов в элементах схемы (что исключено!).

Ниже приведен пример матрицы коэффициентов при неизвестных (матрица А), матрица (вектор) свободных членов (матрица В), а также матрица (вектор) решения системы.

Продолжение матрицы А, столбец свободных членов (матрица В) и столбец решений

Можно было объединить ЧВД и ЧНД. Метод Крамера не накладывает ограничений на число уравнений. Но это увеличило бы размер матрицы А, и существенно усложнило бы проверку возможных описок. Решение по частям упрощает задачу получения расходов пара по отсекам турбины.

Из полученного решения следует, что при заданных условиях:

D­­₀ = 1380,8 кг/с

G_ПВ =1511,0 кг/с

D_к = 823,3 кг/с – во все конденсаторы

Проверку полученных решений можно выполнить с помощью любого из 9 уравнений. Сделаем это путем проверки параметров пара на выходе из ПП1.

h_вых-пп1=[D_пп1×(h_пп1–h_др-пп1)/(D_пс–D_с)]+h_вх-пп1=[55,6×(2674,6 –957,19)/(1112,29–116,3)]+2757,2 = 2852,94 кДж/кг

t_вых-пп1 = 210,0 °С.

Данные проверки совпадают с соответствующими значениями в табл. 3.

Поиск по сайту: