|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Оценка параметров парной регрессии методом наименьших квадратов(суть метода, вывод формул для нахождения оценок коэффициентов через систему нормальных уравнений)
Метод наименьших квадратов позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от расчетных (теоретических) ŷx минимальна:
Для того чтобы найти минимум функции (1), надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и b и приравнять их к нулю. Тогда мы получаем следующую систему нормальных уравнений для оценки параметров a и b Решая систему нормальных уравнений либо методом последовательного исключения переменных, либо методом определителей, найдем искомые оценки параметров a и b. Можно воспользоваться следующими формулами для a и b: Эта формула получена из первого уравнения системы, если все его члены разделить на n: где cov(x,y) — ковариация признаков; σх2— дисперсия признака х Поскольку Таким образом явный вид решения системы нормальных уравнений: Свойство несмещенности состоит в том, что математическое ожидание оценки должно быть равно истинному значению параметра. Свойство состоятельности состоит в том, что с увеличением наблюдений дисперсия оценки параметра стремится к нулю, т.е. оценка становится более надежной в вероятностном смысле (значения оценки более плотно концентрируются около истинного значения). Оценка называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию по сравнению с любыми другими оценками этого параметра в классе выбранных процедур. 11. Матричная форма МНК: спецификация парной регрессионной модели в матричной форме, необходимые условия экстремума в матричном виде, вывод оценки вектора параметров модели.
Понятие статистической процедуры оценивания параметров эконометрической модели. Линейные статистические процедуры. Требования к наилучшей статистической процедуре: несмещенность и минимальные дисперсии оценок параметров. Оценкой ân параметра a называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной X (иначе — статистику), с помощью которой судят о значениях параметра a. Статистические проверки параметров регрессии основаны на непроверяемых предпосылках распределения случайной величины. Они носят лишь предварительный характер. После построения уравнения регрессии проводится проверка наличия у оценок тех свойств, которые предполагались. Связано это с тем, что оценки параметров регрессии должны отвечать определенным критериям: быть несмещенными, состоятельными и эффективными. Эти свойства оценок, полученных по МНК, имеют чрезвычайно важное практическое значение в использовании результатов регрессии и корреляции. В отличие от параметра, его оценка ã n — величина случайная. «Наилучшая оценка» ã n должна обладать наименьшим рассеянием относительно оцениваемого параметра a, например, наименьшей величиной математического ожидания квадрата отклонения оценки от оцениваемого параметра М(ã - a)2. Оценка â n параметра a называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т. е. М(ã) = a. В противном случае оценка называется смещенной. Если это равенство не выполняется, то оценка ã , полученная по разным выборкам, будет в среднем либо завышать значение a (если М(ã) > a , либо занижать его (если М(ã) < 0). Таким образом, требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании. Оценка â n параметра a называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру: В случае использования состоятельных оценок оправдывается увеличение объема выборки, так как при этом становятся маловероятными значительные ошибки при оценивании. Поэтому практический смысл имеют только состоятельные оценки. Несмещенная оценка ã n параметра a называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра a, вычисленных по выборкам одного и того же объема n. Так как для несмещенной оценки M(ã n - a)2 есть ее дисперсия Для нахождения оценок параметров (характеристик) генеральной совокупности используется ряд методов. Указанные критерии оценок (несмещенность, состоятельность, эффективность) обязательно учитываются при разных способах оценивания.
13. Теорема Гаусса - Маркова.
Рассматривается модель парной регрессии, в которой наблюдения Y связаны с X следующей зависимостью: Yi = β1 + β2Xi + εi. На основе n выборочных наблюдений оценивается уравнение регрессии 1 Модель данных правильно специфицирована; 2 Все Xi детерминированы и не все равны между собой; 3 Ошибки не носят систематического характера, то есть 4 Дисперсия ошибок одинакова и равна некоторойσ2; 5 Ошибки независимы, то есть — то в этих условиях оценки метода наименьших квадратов эффективны в классе линейных несмещенных оценок: Также: Док-во: Введем wt=xt/∑xs2. При этом ∑wt=0; ∑wtxt=1; ∑wt2 =1/∑xt2; b~=b+∑wtεt. Таким образом Б). Оценки являются состоятельными. Условие - В). Оценки эфф-ны, т.е. они имеют наименьшую дисп-ию разброса отн-но теорет-х вел-н по сравнению с такими же оценками полученных с примен-м и люб др методов расчета. Эффективность оценки определяется критерием вида Кому не понравилось, смотрим лекцию. Вектор оценок параметров модели – случайный вектор, его основными количественными характеристиками являются: вектор мат.ожиданий и матрица автоковариаций. таким образом, МНК-оценки параметров множественной регрессии несмещенные. Построим матрицу автоковариаций , тк Доказательство эффективности несмещенных оценок b~ выполняется путем сравнения их дисперсий Var(b^) с дисперсиями Var(b~) вектора линейных несмещенных оценок b~, определяемого выражением b~ =(A+C)Y, где С— произвольная (k*n)-матрица. Тогда, в силу несмещенности оценки b~ и равенства b=E(b~)= (A+C)E(Y) = (A+C)Xb = AXb +CXb = b + CXb, откудаследует: CX=0. Определим автоковариационную матрицу вектора оценок b~: Диагональные элементы автоковариационных матриц оценок параметров — их дисперсии. Диагональные элементы матрицы ССТ неотрицательны, поэтому Var(b^)>=Var(b~), т. е. оценка МНК является эффективной, имея минимальную дисперсию по сравнению с любыми несмещенными оценками неизвестного параметра в классе линейных процедур. |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |