Методы простых итераций

При большом числе неизвестных схемы прямых методов, дающее точное решение становятся достаточно сложными и удобнее пользоваться приближенными методами решения. Итерационные методы позволяют получать решение с заранее заданной точностью, если доказана сходимость метода. Рассмотрим метод простых итераций.

Дана линейная система:

.................. (1)

Введем рассмотренные матрицы:

(2)

Тогда уравнение можно записать в матричном виде:

Ax=b (3)

Предполагая, что диагональные коэффициенты (i=1,2,…,n) разрешим первое уравнение относительно x₁ второе – относительно x₂ и т.д., получим эквивалентную систему:

(4)

Где при i ≠ j и a_ij = 0 при i = j

Введем матрицы

и , тогда систему (4) можно записать в матричном виде:

(5)

Будем решать систему методом последовательных приближений. За нулевое приближение принимаем столбец свободных членов x⁽⁰⁾=β, далее последовательно строим матрицы-столбцы в первом приближении:

, далее во втором приближении:

и т.д.

Общая формула вычисления приближений:

или (6)

Если последовательность приближений x⁽⁰⁾, x⁽¹⁾,…, x^(k) имеет предел

, то этот предел является решением системы (4).

Приведем без доказательства достаточное условие сходимости итераций.

Теорема.

Если для приведенной системы (4) выполнено, по крайней мере, одно из условий:

1) (i=1,2,…,n)

2) (j=1,2,…,n)

То процесс итерации сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.

Следствие.

Для исходной системы (2) (i=1,2,…,n) метод итерации сходится, если выполнены неравенства: (i=1,2,…,n), т.е. если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов).

Процесс итерации хорошо сходится, если элементы матрицы a малы по абсолютной величине. Иными словами, модули диагональных элементов системы (2) должны быть велики по сравнению с модулями недиагональных коэффициентов (свободные члены при этом роли не играют).

Пример 5.

Методом простых итераций решим систему:

Шаг 1. Приведем систему к виду, удобному для итерации:

Начальные приближения:

Поиск по сайту: