Метод простой итерации. Для использования этого метода нелинейное уравнение нужно записать в виде (1)

Для использования этого метода нелинейное уравнение нужно записать в виде (1)

Тогда по известному начальному приближению строятся итерации для получения новых, более точных приближений по формуле:

(2)

Итерационный процесс прекращается после достижения заданной точности

(3)

Исследуем процесс сходимости метода. Если имеет непрерывную производную, то из теоремы Лагранжа о конечном приращении

(4)

Следует, что точка лежит между точками и . Поэтому если всюду на всем отрезке [a,b]. Если , то итерации могут не сходиться. Если , но вдали от корня , то итерации сходятся, если начальное приближение выбрано достаточно близко к корню. При произвольном начальном приближении сходимости может не быть. Чтобы обеспечить сходимость необходимо подобрать функции соответствующим образом.

Пример 11.

Уравнение преобразуем к виду (1) тремя способами:

		Поведение	Сходимость метода
		при	Не сходится
		при при	Сходится в ограниченном интервале к отрицательному значению корня
		при	Сходится и очень быстро

Пример 12.

Уточним корень уравнения на отрезке [-2;-1] методом простой итерации. Необходимо представить функцию в виде приведенной функции для проведения итерационного процесса и проверим условие сходимости.

1. Представим функцию в следующем виде:

; при , т.е. сходимость будет в ограниченном интервале и если корень находится именно на этом же интервале, проверим:

Из таблицы видно, что решение будет расходиться с увеличением шага, даже если взять начальное приближение из интервала сходимости.

2. Необходимо представить функцию в таком виде, чтобы выполнилось условие сходимости:

; , т.е.на всем протяжении кроме ограниченного интервала, именно в этом интервале лежит корень уравнения.

3. , на всем протяжении, кроме ограниченного интервала, т.к. корень находится за пределами этого интервала, то решение может получиться. Проверим: шаге до 3 знака.

Поиск по сайту: