Метод Ньютона. Пусть x* корень уравнения отделен на отрезке [a,b], причем , непрерывны и сохраняют отдельные знаки при

Пусть x^* корень уравнения отделен на отрезке [a,b], причем , непрерывны и сохраняют отдельные знаки при . Пусть найдено приближенное значение корня x^(k), а погрешность

(1)-малая величина

Разложим функцию в точке x^* в

Отсюда найдем погрешность:

(2)

Сравним соотношение для погрешности (1) и (2) и выразим x^*, учитывая при этом, что мы получим только уточненное приближенное значение корня:

(3) - это основное соотношение метода Ньютона.

Геометрически этот процесс означает замену на каждой итерации кривой на касательную к ней в некоторой точке и определение значение приближенного значения корня как координаты точки пересечения касательной с осью абсцисс.

В качестве начального приближения удобно выбрать одну из граничных точек отрезка: a или b. Для выбора хорошего приближения x⁽⁰⁾ должно выполняться условие . Выберем начальное приближение x₀=b, для которого проведем касательную к кривой в точке , точка пересечения касательной с осью абсцисс будет первым приближение корня x⁽¹⁾.

Запишем уравнение касательной в точке :

Полагая y=0, x=x⁽ⁿ⁺¹⁾ также можно получить соотношение метода Ньютона (3)

Заметим, что немаловажен выбор хорошего начального приближения: если мы возьмем точку x⁽⁰⁾=a, для которой , то пересечение касательной с осью Ох даст нам точку х, лежащую вне отрезка.

Оценку погрешности можно провести по формуле из предыдущего параграфа:

Где - наименьшее значение производной на рассматриваемом отрезке.

Пример 10.

Уточним корень уравнения на отрезке [-2, -1] методом Ньютона:

Необходимо правильно выбрать начальное приближение, для этого находим вторую производную: ; . Проверяем знаки произведения для точки a: , следовательно в качестве начального приближения выбираем точку a и начинаем итерации по формуле Ньютона:

Поиск по сайту: