 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Моделювання економічних процесів
Важливим фактором, що визначає роль математики в різних галузях, є можливість опису найбільш істотних рис і властивостей досліджуваного об'єкта мовою математичних символів і співвідношень. Такий опис прийнятий називати математичним моделюванням або формалізацією.
Математичною моделлю реального об'єкта (явища) називається її спрощена, ідеалізована схема, складена за допомогою математичних символів і операцій (співвідношень).
Складність економічних систем перевищує поріг, до якого будується точна математична теорія. Тому універсальних методів побудови математичних моделей в економіці не існує. Можна говорити лише про деякі загальні принципи й вимоги до таких моделей. Перелічимо найбільш основні з них:
- адекватність (відповідність моделі своєму оригіналу);
- об'єктивність (відповідність наукових висновків реальним умовам);
- простота (не засміченість моделі другорядними факторами);
- чутливість (здатність моделі реагувати на зміні початкових параметрів);
- стабільність (малому збурюванню вихідних параметрів повинне відповідати мала зміна рішення завдання);
- універсальність (широта області застосування).
При створенні моделі перевага надається найважливішим факторам. Під найважливішими розуміються фактори, які відіграють істотну роль у задачі і які так, чи інакше впливають на кінцевий результат. Керованими називаються ті параметри задачі, яким можна надавати довільні числові значення, виходячи з умов задачі; некерованими вважаються ті параметри, значення яких зафіксоване й не підлягає зміні.
З погляду призначення, можна виділити описові моделі, імітаційні моделі й моделі прийняття рішення. Описові моделі відображають утримування й основні властивості економічних об'єктів як таких. З їхньою допомогою обчислюються числові значення економічних факторів і показників.
Імітаційні моделі використовуються при дослідженні економічних процесів методом імітації його поведінки. Під імітацією прийнято розуміти дослідження об’єктів, процесів або явищ шляхом проведення експериментів з економіко-математичними моделями ціх обїектів, які реалізовані за допомогою комп’ютерних програм. Дослідження проводяться за наступною схемою. Створюється економіко-математична модель залежності результатів від вхідних даних. При проведені дослідження варіюють вихідними даними і вивчають результати.
Моделі прийняття рішення допомагають знайти найкращі варіанти планових показників або управлінських рішень. Серед них найменш складним є оптимізаційні моделі, за допомогою яких описуються (моделюються) задачі типу планування, а найбільш складними - ігрові моделі, що описують задачі конфліктного характеру з урахуванням перетинання різних інтересів. Ці моделі відрізняються від описових тім, що в них є можливість вибору значень керуючих параметрів (чого немає в описових моделях).
У математичній економіці важко переоцінити роль моделей прийняття рішення. Найбільш часте застосування знаходять ті з них, які зводять вихідні завдання оптимального планування виробництва, раціонального розподілу обмежених ресурсів і ефективної діяльності економічних суб'єктів до екстремальних завдань, до завдань оптимального керування й до ігрових завдань.
Припустимо, що безліч усіх припустимих рішень (альтернатив, стратегій) кожної особи, яка приймає рішення (ОПР), попередньо вивчене й описане математично (наприклад, у вигляді системи нерівностей). Позначимо їх через X1, X2,..., Xn. Після цього процес ухвалення рішення всіма ОПР зводиться до наступного формального акту: кожна ОПР вибирає конкретний елемент зі своєї припустимої безлічі рішень х1ÎХ1, х2ÎХ2,…, хnÎХn. У результаті виходить набір х =(х1,...,хn) обраних рішень, що будемо називати ситуацією.
Для оцінки ситуації х з погляду переслідуваних цілей ОПР будуються функції f1,..., fn (які звуться цільовими функціями або критеріями якості), що ставлять у відповідність кожної ситуації х числові оцінки f1(x),..., fn(x) (наприклад, доходи фірм у ситуації х, або їхньої витрати й т.д.). Тоді ціль i -го ОПР формалізується в такий спосіб: вибрати таке своє рішення хiÎХi, щоб у ситуації х =(х1,...,хn) число fi(х) було як можна більшим (або меншим). Однак досягнення цієї мети від нього залежить частково у виді наявності інших сторін, що впливають на загальну ситуацію x із метою досягнення своїх власних цілей. Цей факт перетинання інтересів (конфліктність) відображається в тім, що функція fi крім xi залежить і від інших змінних xj (j 
i). Тому в моделях ухвалення рішення з багатьма учасниками їхньої мети доводиться формалізувати інакше, чим максимізація або мінімізація значень функції fi(х).
Нарешті, нехай нам удалося математично описати всі ті умови, при яких відбувається ухвалення рішення. (опис зв'язків між керованими і некерованими змінними, опис впливу випадкових факторів, облік динамічних характеристик і т.д.). Сукупність усіх цих умов для простоти позначимо одним символом S.
Таким чином, загальна схема завдання ухвалення рішення може виглядати так:
< N; X1, …, Xn; f1(x),…, fn(x); å >. (1.1.1)
Конкретизуючи елементи моделі (1.1.1), уточнюючи їхні характеристики й властивості, можна получить той або інший конкретний клас моделей прийняття рішення. Так, якщо в (1.1.1) N складається тільки з одного елемента (n=1), а всі умови й передумови вихідного реального завдання можна описати у вигляді безлічі припустимих рішень цьєї єдиної ОПР, то з (1.1.1) одержуємо структуру оптимізаційної (екстремальної) задачі: < Х, f >. У цій схемі ОПР може розглядатися як плануючий орган. В загальному вигляді проблема керування виглядає так:
Треба знайти максимум (мінімум) функції
f(x1, x2, …, xn) - показник якості рішення задачі
при обмеженнях
æ gi (x1, x2, …, xn) £ 0, i = 1, 2, …, m
í
è xj ³ 0, j = 1, 2, …, t £ n
де: xj - параметри управління, які по своєму змісту не можуть мати відємне значення. Серед обмежень задачі можуть бути і рівняння. До такої форми задач приводить аналіз різноманітних задач світогосподарських процесів. Методи пошуку рішення задачі залежать від виду функції f(x) і обмежень gi(x1, x2, …, xn). Якщо цільова функція (показник якості) і обмеження мають лінійну залежність, то такі задачі є задачами лінійного програмування (ЗЛП). В іншому випадку – не лінейного. Якщо змінні приймають тільке цілочисельні значення, то такі задачі є задачами цілочисленого програмування. Якщо кожне наступне значення цільової функції залежить від попереднього, то такі задачі є задачами динамічного програмування.
Конспекьт
Якщо в екстремальному завданні явно враховується фактор часу, то вона називається завданням оптимального керування.
Якщо в (1.1.1) N ³ 2, то (1.1.1) є загальною схемою завдання ухвалення рішення в умовах конфлікту, тобто в тих ситуаціях, коли має місце перетинання інтересів двох або більшої кількісті сторін.
Приклади типових економічних задач і створення економіко-матиматичної моделі. Існує багато прикладів типових економічних задач, які мають специфічні моделі. Де які приклади таких задач наведені нижче.
Задача оптимального розкрою матеріалу. Фірма виготовляє виріб, який складається з р деталей. Причому в один виріб ці деталі входять у кількостях k1,..., kr. Із цією метою провадиться розкрій m партій матеріалу. В i-й партії є bi одиниць матеріалу. Кожну одиницю матеріалу можна розкроїти на деталі n способами. При розкрої одиниці i-й партії j-м способом виходить аijr деталей r-го виду.
Потрібно скласти такий план розкрою матеріалу, щоб з них одержати максимальне число виробів.
Транспортна задача. Є n постачальників і m споживачів того самого продукту. Відомі випуск продукції в кожного постачальника й потреби в ній кожного споживача, витрати на перевезення продукції від постачальника до споживача.
Потрібно побудувати план транспортних перевезень із мінімальними транспортними витратами з урахуванням пропозиції постачальників і попиту споживачів.
Задача про призначення на роботу. Є n робіт і n виконавців. Вартість виконання роботи i виконавцем j дорівнює cij. Потрібно розподілити виконавців на роботи так, щоб мінімізувати витрати на оплату праці.
3адача про суміші (про раціон). З m видів вихідних матеріалів кожний з яких складається з n компонент, скласти суміш, у якій утримування компонентів повинне бути не менше b1,...,bn. Відомі ціни одиниць матеріалів с1,...,сm і питома вага j-го компонента в одиниці i-го матеріалу. Потрібно скласти суміш, у якій витрати будуть мінімальними.
Задача про рюкзак. Є n предметів. Вага предмета i дорівнює рi, цінність – сi (i=1,...,n). Потрібно при заданій цінності вантажу вибрати сукупність предметів мінімальної ваги.
Завдача про комівояжера. Є n міст і задані відстані cij між ними (j,i=1,...,n). Виїжджаючи з одного (вихідного) міста, комівояжер повинен побувати у всіх інших містах по одному разі й повернутися у вихідне місто.
Потрібно визначити в якому порядку треба об'їжджати міста, щоб сумарна пройдена відстань була найменша.
Задача про верстати. На універсальному верстаті обробляються однакові партії з n деталей. Перехід від обробки деталі i до обробки деталі j вимагає переналагодження верстата, що займає cij часу.
Потрібно визначити послідовність обробки деталей, при якій загальний час переналагоджень верстата щодо обробки нової партії деталей найменший.
Задача про розподіл капіталовкладень. Є n проектів, причому для кожного проекту j відомий очікуваний ефект h від його реалізації й необхідна величина капіталовкладень gj. Загальний обсяг капіталовкладень не може перевищувати заданої величини b.
Потрібно визначити, які проекти необхідно реалізувати, щоб сумарний ефект був найбільшим.
Задача про розміщення виробництва. Планується випуск m видів продукції, які могли б провадитися на n підприємствах (n>m). Витрати виробництва й збуту одиниці продукції, плановий обсяг річного виробництва продукції й планова вартість одиниці продукції кожного виду відомі. Потрібно з n підприємств вибрати такі m, кожне з яких буде провадити один вид продукції.
Для рішення кожної з наведених класів задач будується економіко-математична модель., методи вирішення якої залежать від структури моделі. Найбільша частка наведених задач може бути представлена моделями у вигляді задач лінійного програмування.
Поиск по сайту: