Язык логики предикатов

Многие науки (математика, физика, химия и др.) используют в своих языках специальные символы (+; √; 2²; Н₂О и т.д.). Преимущество любого символического языка заключается в том, что он более краток и, главное, точен, чем естественный язык, на котором мы говорим в повседневной жизни. Логика также имеет свой символический язык, который был создан специально для точного и ясного воспроизведения структур человеческого мышления, и получил название языка логики предикатов (от лат. proedicatum – сказанное).

Исходные символы:

p, q, r, s, p ₁... – пропозициональные переменные (символы для обозначения целых повествовательных предложений);

a, b, c, d, a ₁... – предметные константы (символы для обозначения единичных имен);

x, y, z, x ₁... – предметные переменные (символы для обозначения общих имен);

P, Q, R, S, P ₁... – предикатные символы (символы для обозначения свойств и отношений);

ù (Ø) – логическое отрицание («не» или «неверно, что»);

Ù (&) – конъюнкция («и»);

Ú – дизъюнкция («или»);

Ú – строгая дизъюнкция («либо…, либо…»);

É (→) – импликация («если…, то…»);

º («) – тождество (эквивалентность) («тогда и только тогда, когда…»);

" – квантор всеобщности («все», «каждый»);

$ – квантор существования («некоторые», «существуют»);

Помимо этого в записи используются технические знаки: скобки и запятая.

Выражения языка логики предикатов называются формулами.

При переводе высказываний на язык логики предикатов существует различие между записью признаков-свойств и признаков-отношений.

Тот факт, что предмету а принадлежит свойство Р, на языке логики предикатов запишется Р (а), а то, что предмету b принадлежит свойство Q – Q (b). То, что некоторое свойство Р принадлежит произвольному предмету х из некоторой, выбранной нами области, запишется Р (х).

Пример 1. Высказывание «Это дерево высокое» на языке логики предикатов запишется так: Р (а), где а – «это дерево»; Р – «высокое».

Пример 2. «Некоторые деревья высокие» на языке логики предикатов запишется формулой $ хР (х), где х – «деревья»; Р – «высокие»; $ - квантор существования, указывающий на то, что в высказывании речь идет только о некоторых элементах множества «деревья».

То, что между двумя произвольными предметами х и у существует отношение R, запишется R (x, y).

Пример 3. Высказывание «Каждое положительное число больше любого отрицательного» в виде формулы можно представить так: " х " уR (х, у), где х – «положительные числа»; у – «отрицательные числа»; R – отношение «быть больше».

Пример 4. «Пять больше трех» на языке логики предикатов запишется R (a, b), где а – «пять»; b – «три»; R – «быть больше».

Пример 5. «Москва расположена между Петербургом и Екатеринбургом». В этом высказывании имеет место отношение между тремя предметами «Москва», «Петербург», «Екатеринбург». Формула высказывания будет следующей: R (a, b, c), где a – «Москва»; b – «Петербург»; c – «Екатеринбург»; R – отношение «быть расположенным между».

Пример 6. Высказывание «Если какое-то тело вторгается в атмосферу Земли, то оно вспыхивает» на языке логики предикатов запишется так:

" x (P (x, a)É Q (x)),

где Р – отношение «вторгается»; Q – «вспыхивает»; а – «атмосфера Земли»; х – «тело».

Формулы Р (а), Р (х), R (х, у), R (a, b, c) и т.д. называются предикатами. Предикат следует отличать от предикатора. Предикаторы (см. тему 2) являются составными частями предикатов. Разница между ними заключается в том, что если речь идет о характеристиках (свойствах и отношениях, а также характеристиках предметно-функционального типа) без отнесения их к определенным предметам, то они называются предикаторами. Если же мы говорим о предикатах, то подразумеваем характеристики определенных, данных предметов. Таким образом, в отличие от предикаторов, предикаты – это не просто знаки свойств или отношений, а знаки признаков. Например, слово «белый» как знак отвлеченного от предметов свойства является предикатором, а как знак признака предмета «свитер» («белый свитер») или «снег» («белый снег») – предикатом.

При записи высказываний на языке логики предикатов нужно иметь в виду, что в логике существует понятие реляционного свойства. Реляционное свойство образуется из некоторого отношения и указывает на наличие или отсутствие отношения данного предмета к каким-то другим.

Пример 7. Высказывание «Москва расположена между Петербургом и Екатеринбургом» можно записать формулой R (а), где а – «Москва»; R – реляционное свойство «быть расположенным между Петербургом и Екатеринбургом».

Поиск по сайту: