Законы логики высказываний

Выше было сказано, что закон логики – это схема (логическая форма), которой присуще следующее свойство: каким бы содержанием мы ее ни наполняли, в результате получим верное, правильное рассуждение. Закон логики высказываний есть частный случай закона логики вообще.

Специфика законов логики высказываний в том, что в качестве значений переменных, входящих в структуру логических форм, выступают отдельные высказывания как целостные образования. И какие бы высказывания ни подставлялись вместо переменных в логический закон, результат будет одним и тем же – полученное сложное высказывание будет истинным.

Очевидно, здесь мы сталкиваемся с трудностью: как установить, что некоторая логическая форма – логический закон, если требуется бесконечное число подстановок? На помощь приходят следующие соображения.

Поскольку мы исходим из допущения, что любое произвольно взятое высказывание либо истинно, либо ложно, то всякая подстановка в логическую форму, образованная с помощью произвольного высказывания, также окажется либо истинной, либо ложной, иное исключено. Поэтому вместо бесконечных подстановок можно ограничится лишь двумя – истинным высказыванием и ложным высказыванием (соответственно значениями
«истинно», «ложно»). А это означает, что для выявления форм, являющихся логическими законами, можно воспользоваться таблицами истинности.

Пример логического закона, о котором речь шла выше, а именно:

Если р, то q; следовательно, если не - q, то не – р

может служить иллюстрацией закона логики высказываний. Поскольку теперь мы знаем, как выражаются символически логические константы «если, то», «неверно, что» и др., то можно дать окончательное выражение этой схемы на языке логики высказываний. В результате получим:

(р ® q)®(Ø q ® Ø р)

Испытаем эту схему с помощью табличным способом
(см. таблицу 4).

Таблица 4.

Как видим, независимо от того, какие высказывания – истинные или ложные (1-й и 2-й столбцы таблицы) – заменяют переменные в данной схеме, т.е. какие логические значения
(«истинно», «ложно») принимают ее переменные, она всегда порождает истинные сложные высказывания. Это означает, что она является логическим законом. Обобщенный вид этого закона:

(A ® B) ® (ØB ® Ø A),

где A, B – переменные для любых (как простых, так и сложных) высказываний.

Наиболее простыми законами логики высказываний являются законы, которые можно выразить с по м ощью одной пере м енной. Это закон исключенного третьего, закон противоречия, закон тождества, закон удаления двойного отрицания, введения двойного отрицания и др.

Закон исключенного третьего – это схема A ÚØ A. Если в эту форму вместо A подставить какое-либо высказывание, то в результате всегда получим сложное истинное (хотя и банально звучащее) высказывание. Например, если вместо A подставим высказывание «Франциск Скорина жил в Минске», то получим сложное высказывание «Франциск Скорина жил или не жил в Минске», и каждый согласится, что оно истинно.

Согласно закону исключенного третьего, два отрицающих друг друга высказывания не являются вместе ложными, выполняется одна из возможностей: если ложно одно из этих высказываний, то истинно его отрицание, а что-либо третье исключено. Поэтому в процессах рассуждений, если установлена ложность некоторого высказывания, можно смело утверждать об истинности высказывания, которое его отрицает.

Законом противоречия называется форма Ø(A Ù Ø A). Она тоже порождает только истинные сложные высказывания. Например: «Неверно, что Франциск Скорина жил и не жил в Минске». В соответствии с законом противоречия два отрицающих друг друга высказывания не являются вместе истинными, одно их них ложно. Отсюда – опасность, связанная с использованием отрицающих друг друга высказываний: кто пользуется схемой A Ù Ø A, т.е. допускает противоречие, тот вводит в свои рассуждения заведомо ложное положение или идет на обман.

Согласно закону тождества – A«A – всякое высказывание является эквивалентным (тождественным) самому себе, следовательно, в правильном рассуждении оно согласуется с самим собой. Рассогласованность в смыслах используемых высказываний чревата серьезными ошибками.

Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается, что утверждается это высказывание без всякого отрицания. Так, говоря: «Неверно, что Иванов не виноват», мы тем самым утверждаем: «Иванов виноват». Отсюда ясна справедливость закона удаления двойного отрицания – ØØ A ® A.

Столь же приемлемо и обратное положение – A ® ØØ A, называемое законом введения двойного отрицания.

Справедливость рассмотренных законов с одной переменной легко проверяется табличным способом (см. таблицу 5).

Таблица 5

Сложнее структура законов с более чем одной пере м енной. Перечислим наиболее употребительные законы с двумя переменными:

(1) (A Ù B) ® (B Ù A);

(2) (A Ù B) ® A;

(3) (A Ù B) ® B;

(4) A ® (B ® (A Ù B));

(5) (A ® B) ® (Ø B ® Ø A);

(6) ((A ® B) Ù A) ® B;

(7) (A ® B) ® Ø(A Ù Ø B);

(8) (A Ú B) ® (B Ú A);

(9) (A Ú B) ® (Ø A ® B);

(10) (A «B) ® (B «A);

(11) (A «B) ® (A ® B);

(12) (A «B) ® (B ® A);

(13) ((A ® B) Ù (B ® A)) ® (A «B);

(14) Ø(A Ú B) «(Ø A Ù Ø B);

(15) Ø(A Ù B) «(Ø A Ú Ø B).

С увеличением числа переменных табличный метод становится малопригодным, поскольку быстро возрастает число строк в таблице, исчисляемых по формуле S = 2 ⁿ, где S – число строк, а n – число переменных. Так, при пяти переменных таблица состоит из 32 строк. Поэтому изобретаются более удобные способы селекции логических законов. Один из них (будем называть его сокращенным) связан с использованием допущений. С этим способом ознакомимся на примере схемы:

((A ® B) Ù (B ® C) Ù A) ® C

Ход мысли будет следующим:

1. Прежде всего, обратим внимание на то, что наша схема – импликация. Она, по определению, истинна в трех случаях: а) антецедент и консеквент оба истинны; б) антецедент ложен, консеквент истинен; в) антецедент и консеквент оба ложны. Она принимает значение «ложно» лишь однажды – когда антецедент принимает значение «истинно», а консеквент – значение «ложно». Значит, при допущении, что наша схема – логический закон, т.е. она всегда принимает значение «истинно», пришлось бы испытывать все три отмеченных варианта. Если же допустить, что она не является логическим законом, то достаточно ограничиться одним вариантом проверки. Итак, выдвигаем допущение: схема ((A ® B) Ù (B ® C) Ù A) ® C не есть логический закон, т.е. при некоторой подстановке она принимает значение «ложно», и ее антецедент (A ® B) Ù (B ® C) Ù A истинен, а консеквент C ложен.

2. Поскольку антецедент (A ® B) Ù (B ® C) Ù A есть конъюнкция, и он истинен, постольку каждый член этой конъюнкции, по определению, истинен, т.е. и A ® B, и B ® C, и A истинны.

3. Так как A ® B – истинная импликация и истинен ее антецедент A (согласно п.2), то B тоже будет истинным.

4. Поскольку B ® C – истинная импликация (согласно п. 2) и B истинно (согласно п.3), то и C тоже истинно.

5. Итак, получилось, что схема C одновременно принимает и значение «ложно» (согласно п.1), и значение «истинно»
(согласно п.4). Но это невозможно, ибо она может принять лишь одно из двух значений. Данное противоречие – результат допущения в п.1, от которого придется отказаться и признать, что наша схема – логический закон.

Испытаем еще схему:

(A®(BÚC))®((BÙC)®A)

Поскольку это тоже импликация, то рассуждаем аналогично предыдущему случаю: допускаем, что она не есть логический закон и устанавливаем, какие следствия из этого допущения вытекают. Именно, поскольку она не закон и хотя бы однажды принимает значение «ложно», то ее антецедент A ®(B Ú C) в этом случае истинен, а консеквент (B Ù C)® A – ложен. Из ложности консеквента (B Ù C)® A следует, что выражение B Ù C принимает значение «истинно», а A – «ложно». Поскольку B Ù C истинно, постольку истинно B и истинно C,а значит ислабая дизъюнкция B Ú C истинна. Отсюда ясно, что поскольку A истинно и B Ú C истинно, тоимпликация A ®(B Ú C) будет истинной.

В результате мы установили логические значения всех переменных, входящих в нашу схему. Если бы она была логическим законом, то, рассуждая подобным образом, мы пришли бы к противоречию. Но противоречия не получилось. Значит, схема (A ®(B Ú C))®((B Ù C)® A) не есть логический закон.

Если бы мы испытывали последнюю схему несокращенным, табличным способом, то мы непроизводительно рассмотрели бы семь остальных подстановок, прежде чем установили бы ложность некоторой подстановки. Рассуждая сокращенно, мы сразу же нашли нужную нам подстановку, решающую вопрос о том, является ли наша схема логическим законом, отрицательно.

Применение сокращенного метода требует хорошей ориентации испытателя в определениях основных логических союзов.

Упражнения:

1. С помощью таблиц истинности установите, соответствуют ли логическим законам следующие рассуждения:

a) Если по проводнику течет электрический ток, то вокруг проводника образуется магнитное поле, но вокруг проводника не образуется магнитное поле. Следовательно, по проводнику не течет электрический ток.

b) Если по проводнику течет электрический ток, то вокруг проводника образуется магнитное поле, и вокруг проводника образуется магнитное поле. Следовательно, по проводнику течет электрический ток.

c) Если по проводнику течет электрический ток, то вокруг проводника образуется магнитное поле, но по проводнику не течет электрический ток. Следовательно, вокруг проводника не образуется магнитное поле.

2 Требование какого логического закона нарушается действующими лицами в следующих эпизодах?

a) «– По правде сказать вам, entre nous (между нами. – франц.), левый фланг, наш бог, знает в каком положении, – сказал Борис, доверчиво понижая голос, – граф Бенигсен не то предполагал. Он предполагал укрепить вон тот курган, совсем не так... но, – Борис пожал плечами. – Светлейший не захотел, или ему наговорили. Ведь... – И Борис не договорил, потому что в это время к Пьеру подошел Кайсаров, адъютант Кутузова. – А! Паисий Сергеевич, – сказал Борис, со свободной улыбкой обращаясь к Кайсарову. – А я вот стараюсь объяснить графу позицию. Удивительно, как мог светлейший так верно угадать замыслы французов!

– Вы про левый фланг? – сказал Кайсаров.

– Да, да, именно. Левый фланг наш теперь очень, очень силен» (Л.Н.Толстой. Война и мир).

b) «Учитель между тем прикидывается изумленным, что даже Иванов не приготовил урок.

– Ты не знаешь? Да этого быть не может!

Новый хохот.

Иванов рад провалиться сквозь землю.

– Отчего же ты не знаешь?

Опять начинается травля, до тех пор, пока Иванов не начинает лгать.

– Голова болела.

– Угорел, верно?

– Угорел.

– А ты, может быть, простудился?

– Простудился.

– И угорел и простудился?.. Экая, братец ты мой, жалость!

Товарищи, видя, что Иванов сбился с толку, помирают со смеху. А мученик думает: «господи ты боже мой, когда же отпорют наконец» и решается покончить дело разом:

– Не могу учиться.

– Отчего же, друг мой?

– Способностей нет.

– А ты пробовал учить вчера?

– Пробовал.

– О чем же ты учил?

Вот тут доходит дело до самой мучительной минуты; хоть убей, не разжать рта, точно губы с пробоем, а на пробое замок. Иванов не обеспокоился не только что выучить урок, но даже узнать, что следовало учить. Павел Федорович, боясь, что Иванову подскажут товарищи, встал со стула и подошел к нему с вопросом:

– Что же ты не говоришь?

Иванов замкнулся, и не отомкнуться ему, несчастному... Наконец, после долгого выпытывания, с тем глубоким отчаянием, с которым бросаются с третьего этажа вниз головой, Иванов принужден сознаться, что он не знает, что задано. Но у него была теперь надежда, что после этого начнутся только распекания и порка, значит, скоро и делу конец, – напрасная надежда...

– И не стыдно тебе, Иванов, сидеть среди таких олухов? Я ведь знаю, что ты не станешь спрягать «дубину», не скажешь, что десятки стоят на десятом месте, не поедешь в Ледовитый океан с какой-то «Гишпанией», зачем же ты забрался к этим дикарям?

– Простите, – шептал Иванов...

– Как же тебя простить?..

– Я буду учиться.

– Как же ты давеча говорил, что не можешь учиться?

Скверно на душе Иванова, потому, что учитель доводит его до того, что он сам сознается:

– Лгал» (Н.Г.По м яловский. Очерки бурсы).

3 Можно ли утверждать, что в следующем высказывании находит применение закон исключенного третьего:

«Судебная медицинская комиссия, которая должна была установить, может ли Швейк, имея в виду его психическое состояние, нести ответственность за все те преступления, в которых он обвинялся, состояла из трех необычайно серьезных господ, причем взгляды одного совершенно расходились со взглядами двух других» (Я.Гашек. Приключения бравого солдата Швейка).

4 Какой из законов логики высказываний иллюстрируют следующие тексты?

a) «Они вышли на опушку леса. Алиса вздрогнула от неожиданности – в эту минуту она думала только о пудинге.

– Ты загрустила? – огорчился Рыцарь. – Давай я спою тебе в утешение песню.

– А она очень длинная? – спросила Алиса.

В этот день она слышала столько стихов!

– Она длинная, – ответил Рыцарь, – но очень, очень красивая! Когда я ее пою, все рыдают... или ...

– Или что? – спросила Алиса, не понимая, почему Рыцарь вдруг остановился.

– Или... не рыдают» (Л.Кэрролл. Алиса в Зазеркалье).

b) «Г-н Журден....А теперь я должен открыть вам секрет. Я влюблен в одну великосветскую даму, и мне хотелось бы, чтобы вы помогли написать ей записочку, которую я собираюсь уронить к ее ногам.

Учитель философии. Конечно, вы хотите написать ей стихи?

Г-н Журден. Нет, нет, только не стихи.

Учитель философии. Вы предпочитаете прозу?

Г-н Журден. Нет, я не хочу ни прозы, ни стихов.

Учитель философии. Так нельзя: или то, или другое.

Г-н Журден. Почему?

Учитель философии. По той причине, сударь, что мы можем излагать свои мысли не иначе, как прозой или стихами.

Г-н Журден. Не иначе, как прозой или стихами?

Учитель философии. Не иначе, сударь. Все, что не проза, то стихи, а что не стихи, то проза» (Мольер. Мещанин во дворянстве).

5 Укажите на обстоятельства, явившиеся причиной отступления от требования закона тождества:

a) Некто Адамс, шевелюра которого стала катастрофически редеть, написал в научно-исследовательский центр одной химической компании письмо с просьбой посоветовать ему, как сохранить волосы. Через некоторое время пришел ответ: «Вы лучше сохраните волосы, если будете собирать их в полиэтиленовый мешок с кусочками нафталина. Мешок рекомендуется держать в темном, прохладном и не слишком сухом месте».

b) По преданию, легендарный царь Крез, обратившийся к дельфийскому оракулу с вопросом, переходить ли ему cо своей ратью реку Галис, получил ответ: «Если будет перейдена река Галис, то рухнет могучее царство». Войска Креза переходят реку, и могучее царство действительно гибнет, только им оказывается царство самого Креза.

c) «В трактире «У чаши» сидел только один посетитель. Это был агент тайной полиции Бретшнейдер. Трактирщик Паливец мыл посуду, и Бретшнейдер тщетно пытался завязать с ним серьезный разговор.

– А когда-то здесь висел портрет государя императора... Как раз на том месте, где теперь зеркало.

– Вы справедливо изволили заметить, – ответил пан Паливец, – висел когда-то. Да только гадили на него мухи, так я убрал его на чердак. Знаете, еще позволит себе кто-нибудь замечание, и посыплются неприятности. На кой черт мне это надо?

...Бретшнейдер показал Паливцу своего орла, с минуту глядел на трактирщика и потом спросил:

– Вы женаты?

– Да.

– А может ваша жена вести дело вместо вас?

– Может.

– Тогда все в порядке, уважаемый, – весело сказал Бретшнейдер. – Позовите вашу супругу и передайте ей все дела. Вечером за вами приедем...

– Не тревожься, – утешал Паливца Швейк. – Я арестован всего только за государственную измену.

– Но я-то за что? – заныл Паливец. – Ведь я был так осторожен!

Бретшнейдер усмехнулся и с победоносным видом пояснил:

– За то, что вы сказали, будто на государя императора гадили мухи. Вам этого государя императора вышибут из головы» (Я.Гашек. Похождения бравого солдата Швейка).

d) «...– Взгляни-ка на дорогу! Кого ты там видишь?

– Никого, – сказала Алиса.

– Мне бы такое зрение! – заметил Король с завистью. – Увидеть Никого! Да еще на таком расстоянии! А я против солнца и настоящих-то людей с трудом различаю! (Л.Кэрролл. Алиса в Зазеркалье).

e) Судья спрашивает у подсудимого:

– Что вы можете сказать в свое оправдание?

– Ну, дело было так. Подходят ко мне на улице двое и говорят, чтобы я снял шапку и куртку. Ну, я и снял у одного шапку, а у другого — куртку.

f) Налоговый инспектор:

- Сколько времени вам понадобится, чтобы заработать на «Волгу»?

«Новый русский»:

– Ну, если жене буду меньше давать, если все долги соберу, если родственники помогут то, думаю, за неделю наберу.

А про себя соображает: Ну, на кой мне сдалась эта Волга со всеми ее причалами и теплоходами?

6 Как объяснить, что загадка «Хожу на голове, хотя и на ногах, хожу я без сапог, хотя и в сапогах» имеет решение-отгадку (гвоздь в подошве сапога)? Не нарушено ли здесь требование, вытекающее из закона противоречия?

7 Какие логические законы и на каких этапах применяются в следующем рассуждении?

«Докажем теорему: «Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой, т.е. (a || c Ù b || c)®(a || b)». Допустим, что это не так, т.е. (a || c Ù b || c)ÙØ(a || b). Тогда они различны и имеют общую точку М. Следовательно, через точку Мпроходят две параллельных к прямой с. Но это противоречит аксиоме о параллельных – через данную точку М проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой с. Стало быть, следствие «через точку М проходит две прямые, параллельных к прямой с» ложно, а вслед за этим ложно и основание, из которого оно получено, т.е. наше допущение. А это означает, что теорема истинна, т.е. доказана.

8 Иван и Петр иногда лгут. Однажды Иван говорит Петру: «Когда я не лгу, ты тоже не лжешь». Петр отвечает: «А когда я лгу, ты тоже лжешь». Нарушено ли требование хотя бы одного из простейших логических законов – тождества, противоречия, исключенного третьего – в этом диалоге?

9 «Помолчав, он (Тетаити. – В.Б.) продолжал:

– Для меня все ясно: эти четверо взяли ружья, значит, они наши враги.

– Я не взял ружья, – возразил Парсел, – и, все-таки, ты считаешь меня своим врагом» (Р.Мерль. Остров).

Имел ли Тетаити право на подозрение после возражения Персела? Почему?

10 Какими логическими законами пользуются рассуждающие в следующих случаях?

a) «Послушайте, Дэниэльс, – догадался вдруг шериф, – нигде вы не прогуливались. – Если бы вы и впрямь бродили по лесу в такую вьюгу, на вас налипло бы куда больше снега. А у вас вид, словно вы только что из дому» (К.Сай м ак. Кто там, в толще скал?).

b) «Если бы он (молодой Рокфеллер. – В.Б.) мог предъявить публике лишь свои умственные способности вместо миллионов своего отца, его толкование Библии осталось бы никому не известным. Но его отец считается самым богатым человеком в мире, и поэтому теологические кувыркания сына считаются интересными и содержательными» (М. Твен. Письма с Земли).

11 Проверьте сокращенным методом правильность следующих рассуждений:

a) Если Петров не трус, то он поступит в соответствии с собственными убеждениями. Если Петров честен, то он не трус. Если Петров не честен, то он не признает своей ошибки. Но Петров признает свою ошибку. Следовательно, он поступит согласно собственным убеждениям.

b) Отец хвалит меня только тогда, когда я сам могу быть доволен собой. Я успешно занимаюсь спортом или не могу быть собой доволен. Если я плохо учусь, то я не могу успешно заниматься спортом. Следовательно, если отец меня хвалит, то я учусь неплохо.

c) Социалисты поддержат президента лишь в том случае, если он подпишет данный указ. Либералы окажут ему поддержку лишь тогда, когда он наложит на него вето. Очевидно, что он не подпишет указ или не наложит на него вето. Следовательно, президент потеряет поддержку у социалистов или либералов.

d) Если в России пытаются проводить реформы, то начинается смутное время. Если начинается смутное время, то либо наступает гражданская война, либо иностранное нашествие, либо Россия теряет часть территорий. Если наступает гражданская война, то население испытывает ужасные бедствия. Не лучше приходится и при нашествии. Сейчас в России пытаются проводить реформы. Значит, российский народ ждут ужасные бедствия.

e) Если теория А Ньютона истинна, то должно наблюдаться следующее: морские приливы и отливы происходят с периодом В, орбита Марса имеет форму С, траектория полета пушечного ядра приобретает форму D. Наблюдения подтверждают В, С и D. Следовательно, теория А Ньютона истинна.

Поиск по сайту: