Отношение следования (подчинения)

Вывести следствие из некоторых положений – значит изъять из них какую-то часть их содержания. Если исходное содержание является истинным, то и следствие также истинно. Из ложного содержания можно получить как ложное, так и истинное содержание. Поэтому отношение следования в логике высказываний можно определить так: логические схемы a и b находятся в отношении следования (из a следует b), если и только если при одинаковых значениях переменных не бывает так, что схема a получает значение «истинно», а схема b получает значение «ложно». В качестве примера возьмем схемы высказываний: “Если электростанция прекратит подачу тока, то предприятие остановится, а если оно остановится, то понесет большие убытки” и “Если электростанция прекратит подачу тока, то предприятие понесет большие убытки”. Сопоставим эти схемы – (A ® B) Ù (B ® C) и (A ® C) - табличным способом (таблица 8).

Таблица 8

Первая схема получает значение «истинно» в четырех случаях (см. строки 1-ю, 4-ю, 6-ю, 8-ю). Но в этих же случаях значение «истинно» получает и вторая схема, и нет такого случая, чтобы высказывание первой схемы было истинным, а второй - ложным. Следовательно, из первой схемы следует вторая, соответственно, из первого высказывания следует второе высказывание.

Отношение полной совместимости (равнозначности)

Схемы a и b находятся в отношении полной совместимости, или равнозначности, если и только из схемы a следует схема b, и наоборот; иными словами, в этом случае при одинаковых значениях переменных схемы a и b принимают одинаковые логические значения, и их таблицы истинности полностью совпадают. Например, в отношении полной совместимости находятся схемы высказываний “Если товарное производство расширяется, то натуральное хозяйство разлагается” и “если натуральное хозяйство не разлагается, то товарное производство не расширяется” (таблица 9).

Таблица 9

Если отношении равнозначности обозначить знаком Û, то верны по крайней мере следующие утверждения:

(1) Ø(A Ù B) ÛØ A Ú Ø B;

(2) Ø(A Ú B) Û Ø A Ù Ø B;

(3) A Ú B Û (A Ù Ø B) Ú (Ø A Ù B);

(4) A ® B ÛØ B ® Ø A;

(5) A ® B Û Ø(A Ù Ø B);

(6) Ø(A ® B) Û A ÙØ B;

(7) A ® B ÛØ A Ú B;

(8) A «B Û (A ® B)Ù(B ® A);

(9) Ø(A «B) Û A Ú B;

(10) A Û ØØ A;

(11) A Û A Ù(A Ú B);

(12) A Û (A Ú B)Ù(A ÚØ B);

(13) A Û (A Ù B)Ú(A ÙØ B);

(14) (A Ú C) Ù (B Ú Ø C) Û (A Ú C)Ù(B Ú Ø C)Ù(A Ú B);

(15) (A Ù C) Ú (B Ù Ø C) Û (A Ù C)Ú(B ÙØ C)Ú A Ù B);

(16) A Ù A Û A;

(17) A Ú A Û A;

(18) A ÙØ A Û л;

(19) A ÚØ A Û и;

(20) A Ù (B Ù C) Û (A Ù B)Ù C;

(21) A Ú (B Ú C) Û (A Ú B) Ú C.