Тангенциальная составляющая ускорения 2 страница

- Ч -

ЧАРТИЗМ (от англ. charter - хартия) Массовое революционное движение английских рабочих с конца 30-х до начала 50-х гг. XIX в., боровши хся за осуществление рабочей хартии (петиции рабочих на имя палаты общин), требования которой касались демократизации государственного строя Англии (всеобщего избирательного права, тайного голосования, отмены ценза для кандидатов в парламент).

ЧАСТНОЕ ПРАВО Совокупность отраслей права, которые регулируют отношения, выражающие частные интересы и основанные на независимости и инициативе индивидуальных собственников и объединений в их имущественной деятельности и в личных отношениях, в отличие от публичного права. Ядро частного права составляет гражданское право, регулирующее имущественные, связанные с ними личные неимущественные отношения, а также торговое право.

"ЧЕРНЫЕ КОДЕКСЫ" (англ. Black Codes) Дискриминационные законодательные акты, принятые в ряде южных штатов США после Гражданской войны 1861-1865 гг. для сохранения неравноправия негров.

ЧИНШ (польск.) В период феодализма в Западной и Центральной Европе - регулярный фиксированный оброк (продуктами или деньгами), который платили феодально-зависимые крестьяне сеньору за держание земли.

- Ш -

ШАРИАТ (араб., букв. - надлежащий путь) Совокупность юридических и религиозных норм, основанных на Коране, мусульманское право.

ШЕВАЖ (фр. chevage) В средневековой Франции - ежегодная подушная подать, которую платили сервы в знак личной зависимости. После XIII -XIV вв. сохранился лишь в некоторых восточных провинциях. Отменен Великой французской буржуазной революцией.

ШЕРИФ (англ. sheriff)

1. В средневековой Англии - представитель короля в графстве, обладавший высшей финансовой, судебной, военной и политической властью в графстве.

2. В современных Великобритании, Ирландии, США - административно-полицейские должностные лица.

ШЕФФЕНЫ (нем. Schoffen - заседатель) Особый вид присяжных в феодальном и буржуазном суде, не составляющих самостоятельную коллегию, а решающих все дела совместно с судьей.

ШИИЗМ (араб.) Одно из двух (наряду с суннизмом) направлений в исламе, сторонники которого признают только Коран и отвергают большинство положений Сунны, не признают суннитских халифов, считая законными руководителями мусульман имамов.

ШОВИНИЗМ (фр. chavinisme, от соб. имени фр. солдата Н.Шовена (Chavin) - поклонника завоевательной политики Наполеона) Крайний национализм, политика национальной исключительности, разжигание национальной вражды и ненависти.

ШТРЕЙКБРЕХЕР (нем. streikbrecher; от streik - забастовка - brechen - ломать) Человек, отказывающийся от участия в забастовке либо нанятый администрацией предприятия для замены бастующих.

- Щ -

ЩИТОВЫЕ ДЕНЬГИ Военный побор в средневековой Англии XII-XIV вв., взимался с держателей феодов взамен личной военной службы.

- Э -

ЭБЕРТИСТЫ (от соб. имени Ж.Эбера (Hebert), 1757-1794 гг.) Левые якобинцы; представители парижских ремесленников; настаивали на крайних мерах - беспощадном подавлении контрреволюции; аресте всех подозрительных, энергичной борьбе со спекуляцией хлебом и т.д.

ЭВПАТРИДЫ (греч., букв. - сыновья благородных отцов) Родовая землевладельческая знать в Древних Афинах.

ЭГАЛИТАРНЫЙ (фр. egalitaire - уравнительный, от egalite - равенство, одинаковость) Уравнительный (как принцип организации общественной жизни).

ЭДИКТ (лат, edictum)

1. В Древнем Риме - извещение, предписание, приказание должностного лица. Особое значение имели эдикты - извещения преторов о том, каких правовых норм они будут придерживаться при отправлении правосудия.

2. Особо важный указ императоров и королей в различных государствах.

ЭДИЛЫ (от лат. aedas - храм) В Древнем Риме выборные должностные лица, наблюдавшие за общественными зданиями и храмами, за снабжением города продовольствием, за общественным порядком и т.п.

ЭККЛЕСИЯ (греч. ekklesia) Народное собрание в Древних Афинах, высший законодательный орган Афин в период демократии.

ЭКСПРОПРИАЦИЯ (фр. expropriationion; от лат. ex - из, от - proprius - собственный)

1. Принудительное (оплачиваемое или безвозмездное) отчуждение имущества, производимое государством. В зависимости от того, выплачивается вознаграждение или нет, различается реквизиция и конфискация.

2. Лишение общественного класса или слоя находящихся в его собственности средств производства посредством принудительного изъятия илиэкономически (например, обезземеливание крестьянства, национализация собственности в результате социалистической революции).

ЭКСТЕРРИТОРИАЛЬНОСТЬ (от лат. ex - из, вне - territorialis - находящийся на территории) Особые преимущества (неприкосновенность личности и жилища, неподсудность местным уголовным и гражданским судам, освобождение от повинностей и налогов), взаимно представляемые государствами иностранным дипломатическим представителям.

ЭКСТРАОРДИНАРНЫЙ ПРОЦЕСС (от лат. extra - вне, сверх - ordo(ordinis) - ряд, порядок) Третья форма судопроизводства в римской юстиции, пришедшая в период империи, во II-III в. н.э. на смену формулярному процессу. Исчезли прежние стадии. Значительно упростился порядок судопроизводства. Магистрат, принимая дело к рассмотрению, вел его от начала до конца, до вынесения решения и приобретал дополнительные полномочия, в частности, воздействовать на участников процесса. Начали применяться пытки. Процесс стал в основном закрытым, письменным. Фактически эта форма судопроизводства содержала многие важнейшие элементы инквизиционного процесса. Вместе с тем вводилась возможность апелляции на вынесенные магистратом судебные решения, установлена была иерархия судов.

ЭЛЕКТОРАТ (фр. electorat; от лат. elector - выбирающий, избиратель) Избиратели, голосующие за определенную политическую партию; совокупность избирателей данного избирательного округа.

ЭМИР (араб. амир - повелитель) В странах мусульманского Востока военачальник, правитель, князь, глава государства.

ЭРЛ (англ. earl) В Англии раннего средневековья - представитель родовой знати; с XI в. - то же, что граф.

ЭТАТИЗМ (фр. etat - государство)

1. Направление политической мысли, рассматривающее государство как высший результат и цель общественного развития.

2. Политика активного участия государства в экономической жизни общества.

ЭФОРЫ (греч. ephoroi - наблюдатели) В Древней Спарте - коллегия высших должностных лиц, ежегодно избиравшихся народным собранием. Обязанностью эфоров было руководство всей политической жизнью государства.

- Ю -

ЮНКЕР (нем. junker)

1. В бывшей Пруссии - дворянин-землевладелец; помещик.

2. В дореволюционной России - воспитанник военного училища, готовившего офицеров.

ЮРИДИЧЕСКОЕ ЛИЦО Субъект гражданского права, организация, которая имеет в собственности, хозяйственном ведении или оперативном управлении обособленное имущество и отвечает по своим обязательствам этим имуществом, может от своего имени приобретать и осуществлять имущественные и личные неимущественные права, нести обязанности, быть истцом и ответчиком в суде.

- Я -

ЯКОБИНЦЫ В период Великой французской революции - члены политического клуба (фактически политическая партия), получившие свое название от занятого ими в 1789 г. монастыря Святого Якова в Париже. Выражали интересы революционно-демократической буржуазии, выступавшей в союзе с крестьянством и городской беднотой. Еще более левые позиции занимали эбертисты. Период якобинского правления (июнь 1793 г.-июль 1794 г.) стал кульминацией революции. Переворот 9 термидора положил конец власти якобинцев.

Тангенциальная составляющая ускорения

т. е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому D s можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует D v_n / AB = v₁/r, но так как AB = v D t, то

В пределе при получим .

Поскольку , угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобед­ренный, то угол ADE между v и Dv _n стремится к прямому. Следовательно, при векторы Dv _n и v оказываются взаимно перпендикулярными. Tax как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор Dv _n, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис.5):

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная состав­ляющая ускорения — быстроту изменения скорости по направлению (направлена к цен­тру кривизны траектории).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движе­ние можно классифицировать следующим образом:

1) , а_n = 0 — прямолинейное равномерное движение;

2) , а_n = 0 — прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

Если начальный момент времени t ₁=0, а начальная скорость v ₁ =v ₀, то, обозначив t ₂ =t и v ₂ =v, получим , откуда

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения

3) , а_n = 0— прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) , а_n = const. При скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы a_n=v ² /r следует, что радиус кривизны должен быть посто­янным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;

5) , — равномерное криволинейное движение;

6) , — криволинейное равнопеременное движение;

7) , — криволинейное движение с переменным ускорением.

§ 4. Угловая скорость и угловое ускорение

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдель­ные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 6). Ее положение через промежуток времени D t зададим углом D . Элементар­ные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначают­ся или ). Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта (рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, назы­ваются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют опреде­ленных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же, как и вектор (рис.7). Размерность угловой скорости dim w =T^{– 1}, а ее единица — ради­ан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

т. е.

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:

При этом модуль векторного произведения, по определению, равен , а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к R.

Если ( = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения T — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2p. Так как промежутку времени D t = T соответствует = 2p, то = 2p/ T, откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:

откуда

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис.8), при замедлен­ном — противонаправлен ему (рис.9).

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота j, угловая скорость w, угловое ускорение e) выражается следующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (e=const)

где w₀ — начальная угловая скорость.

Задачи

1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s=A+Bt+Ct ² +Dt ³(С =0,1 м/с², D =0,03 м/с³). Определить: 1) время после начала движения, через которое ускорение а тела будет равно 2 м/с²; 2) среднее ускорение á а ñ тела за этот промежу­ток времени. [1) 10 с; 2) 1,1 м/с²]

1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к гори­зонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета. [45°]

1.3. Колесо радиусом R =0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением w = 2 At + 5 Bt ⁴(A = 2 рад/с² и B = 1 рад/с⁵). Определить полное ускорение точек обода колеса через t =1 с после начала вращения и число оборотов, сделан­ных колесом за это время. [ а =8,5 м/с²; N =0,48]

1.4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом r =4 м, задается уравне­нием a_n=A+Bt+Ct ²(А= 1 м/с², B =6 м/с³, С =3 м/с⁴). Определить: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t ₁= 5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t ₂=1 с. [1) 6 м/с²; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с²]

1.5. Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t =1 мин уменьшилась от 300 до 180 мин^–1. Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время. [1) 0,21 рад/с²; 2) 240]

1.6. Диск радиусом R =10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением j= A+Bt+Ct ² +Dt ³ (B =1 рад/с, С =1 рад/с², D =1 рад/с³). Определить для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение ; 2) нормальное ускорение а_n; 3) полное ускорение а. [1) 1,4 м/с²; 2) 28,9 м/с²; 3) 28,9 м/с²]

Глава 2 Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

§ 5. Первый закон Ньютона. Масса. Сила

Динамика является основным разделом механики, в ее основе лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Ньютона играют исключительную роль в механике и являются (как и все физические законы) обобщением результатов огромного человеческого опыта. Их рассматривают как систему взаимосвязанных законов и опытной проверке подвергают не каждый отдельный закон, а всю систему в целом.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции.

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета. Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.

Опытным путем установлено, что инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведаны в направлении определенных звезд). Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), при решении многих задач пренебрежимо малы, и в этих случаях ее можно считать инерциальной.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, т.е., иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы).

Масса тела — физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10^–12 их значения).

Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т. е. приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, т. е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Итак, сила — это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

§ 6. Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона — основной закон динамики поступательного движения — от­вечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо пропорционально равнодействующей приложенных сил:

а ~ F (т = const). (6.1)

При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения оказываются различными, а именно

а ~ 1 /т (F = const). (6.2)

Используя выражения (6.1) и (6.2) и учитывая, что сила и ускорение—величины векторные, можем записать

а = kF/m. (6.3)

Соотношение (6.3) выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).

В СИ коэффициент пропорциональности k= 1. Тогда

или

(6.4)

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике есть величина постоянная, в выражении (6.4) ее можно внести под знак производной:

(6.5)

Векторная величина

(6.6)

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материаль­ной точки.

Подставляя (6.6) в (6.5), получим

(6.7)

Это выражение — более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изме­нения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выражение (6.7) называется уравнением движения материальной точки.

Единица силы в СИ — ньютон (Н): 1 Н — сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с² в направлении действия силы:

1 Н = 1 кг×м/с².

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго. Действительно, в случае равенст­ва нулю равнодействующей сил (при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорение (см. (6.3)) также равно нулю. Однако первый закон Ньютона рассматривается как самостоятельный закон (а не как следствие второго закона), так как именно он утверждает существование инерциальных систем отсчета, в которых только и выполняется уравнение (6.7).

В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач. Например, на рис. 10 действующая сила F= m a разложена на два компонен­та: тангенциальную силу F_t, (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу F _n (направлена по нормали к центру кривизны). Используя выражения и , а также , можно записать:

Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под F во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.

§ 7. Третий закон Ньютона

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим зако­ном Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

F₁₂ = – F₂₁, (7.1)

где F₁₂ — сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй;

F₂₁ — сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и явля­ются силами одной природы.

Поиск по сайту: