|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Тангенциальная составляющая ускорения 8 страницаТаким образом, А. Эйнштейн заложил основы специальной теории относительности. Эта теория представляет собой современную физическую теорию пространства и времени, в которой, как и в классической ньютоновской механике, предполагается, что время однородно (см. § 13), а пространство однородно (см. § 9) и изотропно (см. § 19). Специальная теория относительности часто называется также релятивистской теорией, а специфические явления, описываемые этой теорией, — релятивистскими эффектами. В основе специальной теории относительности лежат постулаты Эйнштейна, сформулированные им в 1905 г. I. Принцип относительности: никакие опыты (механические, электрические, оптические), проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. П. Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Первый постулат Эйнштейна, являясь обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы, утверждает, таким образом, что физические законы инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, а уравнения, описывающие эти законы, одинаковы по форме во всех инерциальных системах отсчета. Согласно этому постулату, все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны, т. е. явления (механические, электродинамические, оптические и др.) вовсех инерциальных системах отсчета протекают одинаково. Согласно второму постулату Эйнштейна, постоянство скорости света — фундаментальное свойство природы, которое констатируется как опытный факт. Специальная теория относительности потребовала отказа от привычных представлений о пространстве и времени, принятых в классической механике, поскольку они противоречили принципу постоянства скорости света. Потеряло смысл не только абсолютное пространство, но и абсолютное время. Постулаты Эйнштейна и теория, построенная на их основе, установили новый взгляд на мир и новые пространственно-временные представления, такие, например, как относительность длин и промежутков времени, относительность одновременности событий. Эти и другие следствия из теории Эйнштейна находят надежное экспериментальное подтверждение, являясь тем самым обоснованием постулатов Эйнштейна — обоснованием специальной теории относительности. § 36. Преобразования Лоренца Анализ явлений в инерциальных системах отсчета, проведенный А. Эйнштейном на основе сформулированных им постулатов, показал, что классические преобразования Галилея несовместимы с ними и, следовательно, должны быть заменены преобразованиями, удовлетворяющими постулатам теории относительности. Для иллюстрации этого вывода рассмотрим две инерциальные системы отсчета: К (с координатами х, у, z) и К' (с координатами х', у', z'), движущуюся относительно К (вдоль оси х) со скоростью v = const (рис. 59). Пусть в начальный момент времени t=t'= 0, когда начала координат О и О' совпадают, излучается световой импульс. Согласно второму постулату Эйнштейна, скорость света в обеих системах одна и та же и равна с. Поэтому если за время t в системе К сигнал дойдет до некоторой точки А (рис. 59), пройдя расстояние х = ct, (36.1) то в системе К' координата светового импульса в момент достижения точки А х' = ct'. (36.2) где t' — время прохождения светового импульса от начала координат до точки А в системе К'. Вычитая (36.1) из (36.2), получаем х' – х = c(t' – t). Так как х' ¹ х (система К' перемещается по отношению к системе К), то t ' ¹ t, т. е. отсчет времени в системах К и К' различен — отсчет времени имеет относительный характер (в классической физике считается, что время во всех инерциальных системах отсчета течет одинаково, т. е. t=t '). Эйнштейн показал, что в теории относительности классические преобразования Галилея, описывающие переход от одной инерциальной системы отсчета к другой: заменяются преобразованиями Лоренца, удовлетворяющими постулатам Эйнштейна (формулы представлены для случая, когда К' движется относительно К со скоростью v вдоль оси х). Эти преобразования предложены Лоренцем в 1904 г., еще до появления теории относительности,как преобразования, относительно которых уравнения Максвелла (см. § 139) инвариантны. Преобразования Лоренца имеют вид (36.3) Из сравнения приведенных уравнений вытекает, что они симметричны и отличаются лишь знаком при v. Это очевидно, таккак если скорость движения системы К' относительно системы К равна v, то скорость движения К относительно К' равна – v. Из преобразований Лоренца вытекает также, что при малых скоростях (по сравнению со скоростью с), т. е. когда b <<1, они переходят в классические преобразования Галилея (в этом заключается суть принципа соответствия), которые являются, следовательно, предельным случаем преобразований Лоренца. При v>c выражения (36.3) для х, t, х', t' теряют физический смысл (становятся мнимыми). Это находится, в свою очередь, в соответствии с тем, что движение со скоростью, большей скорости распространения света в вакууме, невозможно. Из преобразований Лоренца следует очень важный вывод о том, что как расстояние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, в то время как в рамках преобразований Галилея эти величины считались абсолютными, не изменяющимися при переходе от системы к системе. Кроме того, как пространственные, так и временные преобразования (см. (36.3)) не являются независимыми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени — пространственные координаты, т. е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Таким образом, теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время. § 37. Следствия из преобразований Лоренца 1. Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в системе К в точках с координатами x 1 и x 2 в моменты времени t 1 и t 2 происходят два события. В системе К' им соответствуют координаты и и моменты времени и . Если события в системе К происходят в одной точке (x 1 =х 2)и являются одновременными (t 1 =t 2), то, согласно преобразованиям Лоренца (36.3), т. е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета. Если события в системе К пространственно разобщены (х 1 ¹ x 2), но одновременны (t 1 = t 2), то в системе К', согласно преобразованиям Лоренца (36.3), Таким образом, в системе К' эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются и неодновременными. Знак разности определяется знаком выражения v (x 1 – x 2 ), поэтому в различных точках системы отсчета К' (при разных v) разность будет различной по величине и может отличаться по знаку. Следовательно, в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Сказанное, однако, не относится к причинно-следственным событиям, так как можно показать, что порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета. 2. Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке (с координатой х), покоящейся относительно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показаний часов в конце и начале события) t = t 2 – t 1, где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же события в системе К' (37.1) причем началу и концу события, согласно (36.3), соответствуют (37.2) Подставляя (37.2) в (37.1), получаем или (37.3) Из соотношения (37.3) вытекает, что t < t ', т. е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Этот результат может быть еще истолкован следующим образом: интервал времени t', отсчитанный по часам в системе К', с точки зрения наблюдателя в системе К, продолжительнее интервала t, отсчитанного по его часам. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов, т. е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся. На основании относительности понятий «неподвижная» и «движущаяся» системы соотношения для t и t ' обратимы. Из (37.3) следует, что замедление хода часов становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости распространения света в вакууме. В связи с обнаружением релятивистского эффекта замедления хода часов в свое время возникла проблема «парадокса часов» (иногда рассматривается как «парадокс близнецов»), вызвавшая многочисленные дискуссии. Представим себе, что осуществляется фантастический космический полет к звезде, находящейся на расстоянии 500 световых лет (расстояние, на которое свет от звезды до Земли доходит за 500 лет), со скоростью, близкой к скорости света ( =0,001). По земным часам полет до звезды и обратно продлится 1000 лет, в то время как для системы корабля и космонавта в нем такое же путешествие займет всего 1 год. Таким образом, космонавт возвратится на Землю в раз более молодым, чем его брат-близнец, оставшийся на Земле. Это явление, получившее название парадокса близнецов, в действительности парадокса нt содержит. Дело в том, что принцип относительности утверждает равноправность не всяких систем отсчета, а только инерциальных. Неправильность рассуждения состоит в том, что системы отсчета, связанные с близнецами, не эквивалентны: земная система инерциальна, а корабельная — неинерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим. Релятивистский эффект замедления хода часов является совершенно реальным и получил экспериментальное подтверждение при изучении нестабильных, самопроизвольно распадающихся элементарных частиц в опытах с p-мезонами. Среднее время жизни покоящихся p-мезонов (по часам, движущимся вместе с ними) t» 2,2×10–8 с. Следовательно, p-мезоны, образующиеся в верхних слоях атмосферы (на высоте»30 км) и движущиеся со скоростью, близкой к скорости с, должны были бы проходить расстояния сt» 6,6 м, т. е. не могли бы достигать земной поверхности, что противоречит действительности. Объясняется это релятивистским эффектом замедления хода времени: для земного наблюдателя срок жизни p-мезона t ' = t / , а путь этих частиц в атмосфере vt ' = bct '= bct/ . Так как b»1, то vt '>> ct. 3. Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х' и покоящийся относительно системы К'. Длина стержня в системе К' будет , где и — не изменяющиеся со временем t' координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К' стержень покоится. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью v. Для этого необходимо измерить координаты его концов x 1 и x 2 в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность l = х 2 – х 1 и определяет длину стержня в системе К. Используя преобразования Лоренца (36.3), получим т. е. (37.4) Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Если стержень покоится в системе К, то, определяя его длину в системе К', опять-таки придем к выражению (37.4). Из выражения (37.4) следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в раз, т. е. так называемое лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразований Лоренца (36.3) следует, что т. е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится. 4. Релятивистский закон сложения скоростей. Рассмотрим движение материальной точки в системе К', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоростью v. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами х, у, z, а в системе К' в момент времени t ' — координатами х', у', z', то представляют собой соответственно проекции на оси х, у, z и х', у', z' вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем К и К'. Согласно преобразованиям Лоренца (36.3), Произведя соответствующие преобразования, получаем релятивистский закон сложения скоростей специальной теории относительности: (37.5) Если материальная точка движется параллельно оси х, то скорость и относительно системы К совпадает с ux, а скорость и' относительно К' — с . Тогда закон сложения скоростей примет вид (37.6) Легко убедиться в том, что если скорости v, и' и и малы по сравнению со скоростью с, то формулы (37.5) и (37.6) переходят в закон сложения скоростей в классической механике (см. (34.4)). Таким образом, законы релятивистской механики в предельном случае для малых скоростей (по сравнению со скоростью распространения света в вакууме) переходят в законы классической физики, которая, следовательно, является частным случаем механики Эйнштейна для малых скоростей.
Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постулату Эйнштейна (см. § 35). Действительно, если u' = c, то формула (37.6) примет вид (аналогично можно показать, что при и = с скорость u' также равна с). Этот результат свидетельствует о том, что релятивистский закон сложения скоростей находится в согласии с постулатами Эйнштейна. Докажем также, что если складываемые скорости сколь угодно близки к скорости с, то их результирующая скорость всегда меньше или равна с. В качестве примера рассмотрим предельный случай u ' = v = с. После подстановки в формулу (37.6) получим и = с. Таким образом, при сложении любых скоростей результат не может превысить скорости света с в вакууме. Скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую невозможно превысить. Скорость света в какой-либо среде, равная с / n (n — абсолютный показатель преломления среды), предельной величиной не является (подробнее см. § 189). § 38. Интервал между событиями Преобразования Лоренца и следствия из них приводят к выводу об относительности длин и промежутков времени, значение которых в различных системах отсчета разнос. В то же время относительный характер длин и промежутков времени в теории Эйнштейна означает относительность отдельных компонентов какой-то реальной физической величины, не зависящей от системы отсчета, т. е. являющейся инвариантной по отношению к преобразованиям координат. В четырехмерном пространстве Эйнштейна, в котором каждое событие характеризуется четырьмя координатами (х, у, z, t),такой физической величиной является интервал между двумя событиями: (38.1) где — расстояние между точками трехмерного пространства, в которых эти события произошли. Введя обозначение t 12 = t 2 – t 1, получим Покажем, что интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Обозначив D t = t 2 – t 1, D x = x 2 – x 1, D y = y 2 – y 1 и D z = z 2 – z 1, выражение (38.1) можно записать в виде Интервал между теми же событиями в системе К' равен (38.2) Согласно преобразованиям Лоренца (36.3), Подставив эти значения в (38.2), после элементарных преобразований получим, что т. е. Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что интервал, определяя пространственно-временные соотношения между событиями, является инвариантом при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета. Теория относительности, таким образом, сформулировала новое представление о пространстве и времени. Пространственно-временные отношения являются не абсолютными величинами, как утверждала механика Галилея — Ньютона, а относительными. Следовательно, представления об абсолютном пространстве и времени являются несостоятельными. Кроме того, инвариантность интервала между двумя событиями свидетельствует о том, что пространство и время органически связаны между собой и образуют единую форму существования материи — пространство-время. Пространство и время не существуют вне материи и независимо от нее. Дальнейшее развитие теории относительности (общая теория относительности, или теория тяготения) показало, что свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. При переходе к космическим масштабам геометрия пространства-времени не является евклидовой (т. е. не зависящей от размеров области пространства-времени), а изменяется от одной области к другой в зависимости от концентрации масс в этих областях и их движения. § 39. Основной закон релятивистской динамики материальной точки Масса движущихся релятивистских частиц зависит от их скорости: (39.1) где m 0 — масса покоя частицы, т. е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой частица находится в покое; с — скорость света в вакууме; т — масса частицы в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v. Следовательно, масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчета. Из принципа относительности Эйнштейна (см. § 35), утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса. Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид (39.2) или (39.3) где (39.4) — релятивистский импульс материальной точки. Отметим, что уравнение (39.3) внешне совпадает с основным уравнением ньютоновской механики (6.7). Однако физический смысл его другой: справа стоит производная по времени от релятивистского импульса, определяемого формулой (39.4). Таким образом, уравнение (39.2) инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой. В силу однородности пространства (см. § 9) в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Часто вообще не оговаривают, что рассматривают релятивистский импульс, так как если тела движутся со скоростями, близкими к с, то можно использовать только релятивистское выражение для импульса. Анализ формул (39.1), (39.4) и (39.2) показывает, что при скоростях, значительно меньших скорости с, уравнение (39.2) переходит в основной закон (см. (6.5)) классической механики. Следовательно, условием применимости законов классической (ньютоновской) механики является условие v<<c. Законы классической механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая v<<c (формально переход осуществляется при с ®¥). Таким образом, классическая механика — это механика макротел, движущихся с малыми скоростями (по сравнению со скоростью света в вакууме). Экспериментальное доказательство зависимости массы от скорости (39.1) является подтверждением справедливости специальной теории относительности. В дальнейшем (см. § 116) будет показано, что на основании этой зависимости производятся расчеты ускорителей. § 40. Закон взаимосвязи массы и энергии Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы. Раньше (§ 12) было показано, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении: (40.1) Учитывая, что dr = v d t, и подставив в (40.1) выражение (39.2), получаем Преобразовав данное выражение с учетом того, что vdv = v d v, и формулы (39.1), придем к выражению (40.2) т. е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы. Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя m 0, то, проинтегрировав (40.2), получим (40.3) или кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид (40.4) Выражение (40.4) при скоростях v«c переходит в классическое: (разлагая в ряд при v << c, правомерно пренебречь членами второго порядка малости). А. Эйнштейн обобщил положение (40.2), предположив, что оно справедливо не только для кинетической энергии частицы, но и для полной энергии, а именно любое изменение массы D m сопровождается изменением полной энергии частицы, (40.5) Отсюда А. Эйнштейн пришел к универсальной зависимости между полной энергией тела Е и его массой т: (40.6) Уравнение (40.6), равно как и (40.5), выражает фундаментальный закон природы — закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме. Отметим, что в полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле. Закон (40.6) можно, учитывая выражение (40.3), записать в виде откуда следует, что покоящееся тело (T =0) также обладает энергией называемой энергией покоя. В классической механике энергия покоя Е 0 не учитывается, считая, что при v =0 энергия покоящегося тела равна нулю. В силу однородности времени (см. § 13) в релятивистской механике, как и в классической, выполняется закон сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.019 сек.) |