Билет № 34

Связанные колебания - собственные колебания в сложной системе, состоящей из связанных между собой простейших (парциальных) систем.

Особенности колебаний в связанных системах рассмотрим на примере двух математических или физических маятников, связанных между собой пружиной.

Свободный математический маятник, как известно, обладает двумя степенями свободы, то есть для описания его движения требуется два параметра – углы смещения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Система из двух маятников описывается четырьмя параметрами и, следовательно, имеет четыре степени свободы. Если колебания, соответствующие каждой степени свободы, независимы, то задача описания движения является чисто кинематической, то есть задачей разложения сложного движения на сумму более простых движений. Если между движениями по различным степеням свободы имеется динамическая связь, при которой возбуждение одной степени свободы вызывает динамические изменения во всех остальных степенях свободы, то это приводит к обмену колебательной энергии между степенями свободы, приводя к новым физическим явлениям, отсутствующим у системы независимых маятников.

Как известно, для свободного математического маятника уравнение моментов будет

, (1)

где J – момент инерции маятника, m, l – его масса и длина соответственно, α – угол отклонения от положения равновесия. В случае двух маятников, связанных пружиной, на каждый маятник будет действовать дополнительная сила со стороны пружины F_св, которая при небольших отклонениях может быть определена из закона Гука

F_св = kl₁(α₁ - α₂),

где l₁ – расстояние от точки крепления маятника до точки крепления пружины. Эта сила создает дополнительный момент, действующий на каждый из маятников. В этом случае уравнения движения маятников будут иметь вид

, (2)

где учтено, что . В общем случае уравнения колебаний в системе двух произвольных связанных маятников имеют вид

, (3)

, (4)

здесь x₁, x₂ – отклонения маятников от положения равновесия, ω₀₁, ω₀₂ – частоты собственных колебаний маятников (парциальные частоты), λ₁, λ₂ – коэффициенты, определяющие величину связи между маятниками. Как следует из (2)-(4) для рассматриваемого случая.

. (5)

Решение системы (3),(4) легко найти с помощью метода комплексных амплитуд, если предположить, что в ней можно возбудить гармонические колебания на некоторой частоте ω, причем

,

, (6)

где – комплексные амплитуды колебаний маятников. После подстановки (6) в (3), (4) получим

, (7)

где ζ = x₂₀/x₁₀. Решением этой системы алгебраических уравнений являются

, (8)

. (9)

Здесь верхний знак перед корнем относится к ω₁ и ζ₁, а нижний – к ω₂ и ζ₂ Общее решение системы (3), (4) имеет вид

, (10)

, (11)

где амплитуды и фазы A, B, ψ₁, ψ₂ определяются начальными условиями, а частоты ω₁, ω₂ и коэффициенты ζ₁, ζ₂ не зависят от начальных условий и определяются только свойствами колебательной системы. Для случая двух одинаковых связанных маятников из (9) следует ζ₁ = 1, ζ₂ = -1.

Таким образом, хотя в общем случае произвольное колебание маятников не является гармоническим, тем не менее его всегда можно представить в виде суммы двух гармонических колебаний с частотами ω₁ и ω₂. Эти колебания носят название нормальных колебаний (собственных колебаний системы), а частоты ω₁ и ω₂ – нормальных частот. Каждое нормальное колебание системы (его называют также модой колебаний) является совокупностью колебаний обоих маятников, оно характеризуется частотой ω₁ или ω₂, а также определенным соотношением между амплитудами колебаний каждого маятника (амплитуды отличаются соответственно в ζ₁или ζ₂ раз). Нормальные колебания можно выделить в любой колебательной системе, состоящей из произвольного числа маятников, если движение этой системы описывается системой уравнений типа (3), (4). В том случае, когда в системе возбуждено одно нормальное колебание, каждый маятник колеблется по гармоническому закону с частотой этого колебания, а амплитуды и фазы колебаний всех входящих в систему маятников однозначно связаны между собой.

НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (нормальные моды) - собственные (свободные) гармонич. колебания линейных динамич. систем с пост. параметрами, в к-рых отсутствуют как потери, так и приток извне колебат. энергии. Каждое Н. к. характеризуется определ. значением частоты, с к-рой осциллируют все элементы системы, и формой - нормиров. распределением амплитуд и фаз по элементам системы. Линейно независимые Н. к., отличающиеся формой, но имеющие одну и ту же частоту, наз. вырожденными. Частоты Н. к. наз. собственными частотами системы.

В дискретных системах, состоящих из N связанных гармонич. осцилляторов (напр., механич. маятников, эл--магн. колебат. контуров), число Н. к. равно N. В распределённых системах (струна, мембрана, резонатор) существует бесконечное, но счётное множество Н. к. Совокупность Н. к. обладает свойством полноты в том смысле, что произвольное свободное движение колебат. системы может быть представлено в виде суперпозиции Н. к.; при этом полная энергия движения распадается на сумму парциальных энергий, запасённых в каждом Н. к. Т. о., система ведёт себя так, как набор автономных объектов - независимых гармонич. осцилляторов, к-рые могут быть выбраны в качестве обобщённых нормальных координат, описывающих движение в целом. Однако в дннамич. системах могут существовать и собств. движения, не сводящиеся к Н. к. (равномерные вращения, пост. токи и др.).

При внеш. возбуждении системы Н. к. в значит. мере определяют резонансные свойства системы, хотя, строго говоря, они перестают быть независимыми. Резонанс может возникнуть лишь в том случае, когда частота гармонич. внеш. воздействия близка к одной из собств. частот системы либо к их линейной комбинации, если внеш. воздействие меняет параметры системы (параметрический резонанс).При резонансном возбуждении системы важным оказывается и распределение воздействия - макс. эффект достигается при соблюдении не только временного, но и "пространственного" синхронизма (см. Волны).

В линейных системах с переменными параметрами при выполнении определ. условий также возможно представление движений в виде суперпозиции Н. к., отличающихся, однако, от гармонических. Понятие Н. к. может быть приближённо распространено на системы, содержащие неконсерватнвные и нелинейные элементы, если их воздействие приводит к медленным изменениям амплитуд и фаз квазигармонич. Н. к. (в масштабе периода самих Н. к. или периода биений между ними).

Бие́ния — явление, возникающее при наложении двух периодических колебаний, например, гармонических, близких по частоте, выражающееся в периодическом уменьшении и увеличении амплитуды суммарного сигнала. Частота изменения амплитуды суммарного сигнала равна разности частот исходных сигналов.

Биения возникают от того, что один из двух сигналов линейно во времени отстаёт от другого по фазе, и, в те моменты, когда колебания происходят синфазно, суммарный сигнал оказывается максимален, а в те моменты, когда два сигнала оказываются в противофазе, они взаимно гасят друг друга. Эти моменты периодически сменяют друг друга по мере того, как нарастает отставание. Биения звука можно слышать при настройке музыкальных инструментов, например, струнных по камертону. Если частота струны незначительно отличается от частоты камертона, то слышно, что звук пульсирует — это и есть биения. Струну для настройки в унисон с камертоном нужно подтягивать или ослаблять так, чтобы частота биений уменьшалась. При совпадении высоты звука с эталонным биения полностью исчезают. Биения звука также можно услышать при игре на музыкальных инструментах, например пианино или гитаре, когда различной высоты звуки создают интервалы и многозвучия (аккорды). В современных аккордеонах и баянах (где нажатие на кнопку или клавишу вызывает извлечение ноты одной высоты с помощью трёх металлических язычков, колеблющихся под напором воздуха) два других язычка, при изготовлении инструмента, специально немного расстраивают по частоте относительно язычка, настроенного в унисон к ноте, чтобы получить характерное звучание инструмента, образующегося в результате эффекта биений. Эффект биений используется в электронике для вычитания частот сигналов. Например, в супергетеродинных радиоприёмниках биения между частотами гетеродина и принимаемого сигнала преобразуются в промежуточную частоту, сигнал которой далее усиливается.

Поиск по сайту: