Пересечение и сумма подпространств

Пусть U и W — подпространства векторного пространства V над полем F.

Предположим, пересечение подпространств U и W является векторным пространством.

Замечание. Объединение пространств U и W не обязано быть векторным пространством, как показано в следующем примере.

Пример. Пусть , то есть множество векторов вида , где . Базисом этого пространства служат вектора e₁=(1,0) и e₂=(0,1). Положим U₁= и U₂= – линейные оболочки векторов и , соответственно. Сумма векторов не содержится в

Определение. Суммой подпространств U и W называется наименьшее подпространство в V, содержащее U и W, то есть

.

Вообще говоря, можно определить сумму любого конечного числа подпространств:

Сумма подпространства U₁, U₂, …, U_n в V - это наименьшее подпространство, содержащее все U_i, то есть

Пусть U и W – подпространства конечномерного векторного пространства V. Тогда

Поиск по сайту: