Пример. 1) Нулевая функция: для любого

1) Нулевая функция: для любого .

2) Пусть (e₁,…,e_n) – базис. Тогда для любого x=xⁱe_i положим f(x)=xⁱ.

3) Пусть V - линейное пространство матриц. Тогда f(X)= X^T.

4) Пусть V – пространство многочленов степени не больше n. Тогда

f(P)= P(0) или f(P)= P ` (0).

Теорема. Пусть (е₁,…,е_n) – базис пространства V. Тогда для любых , существует единая функция f такая, что . Линейная функция задается формулой: .

Линейные функции на V составляют линейное пространство: , где Функция – линейная (очевидно), 0 – нулевая функция, - f противоположная к f.

Определение. Сопряженным (двойственным) пространством V* для линейного пространства V называется пространство всех линейных функций на V с определенной выше операцией.

Пусть (е₁, …,е_n) – базис в V. Определим линейные функции . Система называется сопряженным базисом для базиса (е₁, …,е_n).

Теорема. Пусть (е₁, …,е_n) – базис в V. Тогда:

1) Сопряженный базис (е₁, …,е_n) существует;

2) Сопряженный базис (е₁, …,е_n) единственен;

3) В самом деле является базисом в V*;

4) Координатами любой функции в базисе (е₁, …,е_n) являются числа f (е₁), …, f (е_n);

5) dim V = dim V*.

Определение. Ядром функции называется следующее множество:

Теорема. Для любого конечномерного пространства V и любой линейной функции справедливы следующие утверждения:

1) Ядро является подпространством в V;

2) Если функция f не является нулевой, то

Теорема. Пусть Е = (е₁, …,е_n) – базис линейного пространства V. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Множество U всех векторов x, координаты которых в базисе удовлетворяют линейной однородной системе

(1)

является подпространством в V и dim U=n-rank() _{m x n}.

2) Всякое k-мерное пространство U пространства V состоит из всех векторов, координаты которых удовлетворяют некоторой однородной линейной системе.

Теорема. Пусть V – n-мерное линейное пространство. Тогда функция заданная формулой для любой функции , является линейной, то есть . Отображение , заданное по правилу является естественным изоморфизмом пространств .

Поиск по сайту: