Размерность векторного пространства и его базис

Определение. Базисом ненулевого векторного пространства над полем

называется система векторов, которая

1. порождает V,

2. линейно независима.

Теорема. Ненулевое векторное пространство V всегда обладает базисом. Иными словами, V является свободным F -модулем.

Определение. Размерностью ненулевого векторного пространства называется мощность его базиса. Для нулевого векторного пространства полагают, что его размерность равна нулю. Размерность векторного пространства над полем обозначается через .

Определение. Говорят, что пространство конечномерно, если или базис состоит из конечного числа векторов. В противном случае говорят, что оно бесконечномерно.

Пример 1. Поле действительных чисел R является бесконечномерным векторным пространством над полем рациональных чисел Q..

Пример 2. Поле комплексных чисел C является двумерным вещественным векторным пространством.

Пример 3. Произвольное поле F является одномерным векторным пространством над собой с базисом

Предложение. Для конечномерного векторного пространства набор векторов является базисом, если каждый вектор единственным образом представляется в виде .

Определение. Пусть — базис , и . Скаляры называются координатами вектора в данном базисе.

Пример 4. Пусть — поле, и — -мерное координатное пространство. Векторы составляют базис .

Поиск по сайту: