Устойчивость по Ляпунову

При математическом описании различных процессов происходит некоторое округление, так как мы не учитываем факторы незначительно влияющие на процесс.

Возможно, что не учитываемые факторы сильно влияют на процесс, меняя его количественную и качественную характеристику

Во многих случаях можно указывать условия, при которых упрощение не возможно

Пусть некоторое явления описываются системой ДУ:

= (t, )

() = o (i= ) (7.3)

Если решение не только устойчивое но и удовлетворяет условию:

lim │ (t) - =0 (7.5)

t ∞

│ () - │ < >0

- асимптатичная устойчивость

Заметим, что из условия (7.5) не следуете устойчивость решения = )

Из устойчивости решения не следует- его асимптатичности

Исследование на устойчивость решения системы (7.3) может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального решения

Тогда система (7.3)

= (t) (i =

= (t) (i = (7.6)

= + (t, + (t), + ,…, + (t)) (7.7)

Решение = (t) уравнения (7.7), которое мы исследовали на устойчивости в силу замены = - I (t) соответствует тривиальному решению (7.7)

Поэтому мы будем исследовать на устойчивости точку покоя, расположенную в начале координат.

Условия устойчивости точки покоя: =0 (i= )

Устойчивость в смысле Ляпунова если для каждой ε 0 можно подобрать δ; (ε) такое, что

То есть траектория начальная точка которой находится в точке окрестности начальной координаты при t T не выходит за пределы ε – окрестности начальной координаты.

Поиск по сайту: