Простейшие типы точек покоя

Исследуем расположение траектории в окрестности точки покоя x=0

y=0

Система 2-ух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

(7.8)

0

Ищем решение в виде

x= y=

Для получения корней характеристического уравнения:

= 0

- ( + ) k + (- + ) = 0

с точностью до постоянного множителя определяемого из одного из уравнений

(7.9)

Рассмотрим следующие случаи:

1 случай:

R; R

(7.10)

и

При k= и при k=

и произвольная постоянная

< 0 < 0

X=0 y=0

Асимптатично устойчивы

Так как точки лежащие в любой δ – окрестности начальные координаты при достаточно большом t переходе в точке лежащей в ε – окрестности начальной координаты

На рисунке (7.1) изображено расположение траектории для точки покоя данного типа – устойчивый узел.

2 случай:

Траектории те же, направление другое

Точка покоя не устойчива, так как точки близкие к началу координат

0 0

3 случай:

0 < 0

x= y= (7.11)

Однако существует движение приближенное к началу координат:

x= y =

y= x

Движение (7.11) проходит по прямой y= x

t ∞ t -∞

Точка покоя такого вида называется Седлом

Корни характеристического уравнения

= P q 0

(7.12)

Здесь возникли следующие случаи

Случай 1) = P p<0 q 0

p<0

Второй множитель ограничен

p=0 - траекторией замкнутых кривых

(p<0)

Превращающееся замкнутые кривые в спирали асемптатично приближены к началу координат

Фокус отличается от узла тем, что касательные к траектории не стремятся ни к какому приделу при t ∞

Случай 2) = P p 0

q 0

Этот случай переходит в предыдущий при замене t на –t

Поэтому траектории те же но движение в другую сторону

Точка покоя не устойчива - не устойчивый фокус

Траектория – замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя называется центром рисунка (7.4)

Она устойчива, но асимптатичной устойчивости нету

Случай 3): =

1) = < 0

x(t) = ( + t)

y(t) = ( + t)

Не исключена возможность того, что

- произвольные константы

Точка покоя асемптатично устойчива так как 0

Точка покоя – узел

Устойчивый узел – дикритический узел