 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Теорема (5.3) : ( О структуре общего решения ЛНДУ n-го порядка)
Общее решение y ЛНДУ n-го порядка = сумме частного решения 
НУ и общего решения 
ОУ
y= 
может быть найдено если известно общее решение ОУ
= 
+ 
+ … + 
y(x) – частное решение образующее фундаментальную систему решений ОУ
+ 
+ … + 
= 0
+ 
+ … + 
= 0
+ 
+ … + 
= 0
+ 
+ … + 
= f (x)
Однако для ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами, правая часть f(x) которая имеет специальный вид, можно найти методом неопределенных коэффициентов
Метод подбора частного решения для уравнения:
y’’ + 
+ … + 
y = f (x) 
R
Системы дифференциального уравнения
Основные понятия
Для решения многих задач в математике, физике, техники, биологии не редко требуется несколько функций
Нахождение этих функций может привести к нескольким дифференциальным уравнениям образующих систему
Системой ДУ – называется совокупность дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит независимые непеременные, искомые функции и их производные
Общий вид системы ДУ 1-го порядка содержат n искомых функций:
Система ДУ 1-го порядка решают относительно производных, то есть система вида:
= 
(x, 
)
= (x, )
Число уравнений = числу искомых функций
Часто система уравнения и система уравнения высшего порядка можно привести к нормальным системам вида (6.1)
Уравнение 3- го порядка
y’’’ = f (x, y, y’, y’’)
Путем замены: y’ = p y’’ = q
Решение системы (6.1) называется совокупностью из n функций:
удовлетворяет каждому уравнению из этой системы
Вначале условия для (6.1) имеют вид:
(
) = 
() = 
….., 
(
) = 
(6.2)
Задача Коши для (6.1):
Нужно найти решение системы (6.1) удовлетворяющее условию (6.2)
Условия существования и единственности решения задач Коши с формулирована в § 3.3 (т 3.6)
Общее решение (6.1) имеет вид:
= 
(x, 
)
= 
(x, )
Решение получившиеся из общего из конкретного значения const 
… 
называются частными решениями системы (6.1)
Интегрирование нормальной системы
Одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ является метод сведения к одному ДУ высшего порядка
Он основывается на следующих положениях:
Возьмем из (6.1) 1-ое уравнение и продифференцируем:
= 
+ 
* 
+ … + 
* 
Подставим значение производной:
, 
, …, 
+ 
+…+ 
Продифференцируем это равенство еще раз и заменив их производную выразим систему (6.1)
= 
+ 
* +…+ 
* 
= 
(x, 
,…, 
)
Соберем полученное уравнение в системе:
= 
(x, 
, 
,… 
)
= 
(x, , … ) (6.3)
= (x, , ,… )
Из первых (n- 1) - го уравнений системы (6.3) выразим функцию
, 
,…
Через x:
x, 
… 
= 
(x, , ’, … 
)
= 
(x, , ’, … ) (6.4)
Найдем значение … подставим в n-ое уравнение (6.3) и получим уравнение n-го порядка
= φ(x, , ’, … )
= (x, 
… )
Продифференцируем (n – 1) раз и подставим значения производных
’,…, 
в уравнении (6.4)
Найдем функцию:
= 
(x, … )
= (x, … )
Замечание: система уравнения (6.1) можно решить методом интегрируемых комбинаций
Суть метода: что выполняемые арифметические операции над уравнением получить легко интегрированные уравнения относительно новых переменных
Система ЛДУ с постоянными коэффициентами
Рассмотрим еще 1 метод интегрирования системы (6.1) в случае когда она представлена системой линейного ДУ с носителем коэффициента, то есть:
= 
= 
При y=3
= 
= 
= 
j (i, j= 
) = const
= α 
= β 
= γ (6.6)
α,β,γ, k – const, который надо подобрать так, чтобы функция (6.6) удовлетворяла (6.5)
Подставим (6.6) в (6.5)
αk = 
α + 
β + 
γ
βk = 
α + 
β + 
γ
γk = 
α + 
β + 
γ
α ( -k) + β + 
γ =0
α+ β( -k) + γ =0
α + β + ( -k) γ=0
=0
Уравнение (6.8) - характеристическое уравнение (6.5)
Раскрыв определитель получим уравнение 3 степени относительно к:
Возможны 3 случая:
1 случай:
корни характеристического уравнения действительны и различны
, 
Є R
(i= )
Один из коэффициентов может считаться = 1
Для корня 
системы частное решение:
: 
= 
* 
= 
= 
: 
= 
* 
= 
= 
: 
= 
* = 
= 
Можно показать, что эти функции создают фундаментальную систему:
= 
+ 
+ 
= 
+ 
+ 
= 
+ 
+ 
2 Случай:
Корни характеристического уравнения различные и среди них есть комплексные
= a+ ib
= a- ib
R
+ 
+ 
x + 
=0
Вид частного решения в этой системе определяется также как и в случае 1
Замечание: вместо полученного частного решения можно взять их линейные комбинации
cos bx, sin bx
Корень a- i b не дает новых решений
Характеристическое уравнение имеет корень k;
Кратность m (m =2,3)
а) m= 2 
= (A + 
)
= (C + 
) = (E + 
)
m=3 = (A + 
)
= (D + 
)
= (G + 
)
Это решение зависит от ’m’ производной постоянных A, B, C,…, N определяемых методом неопределенного коэффициента
Выразить все коэффициенты через ’m’ полагается один из них равен 1, a остальные =0
Получится ’m’ линейно независимое частное решение системы (6.5)
Поиск по сайту: