 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка в частных произвольных
В данной лекции рассмотрим важные классы уравнения с частными произвольными
Именно важно значение в функции, к задачам теплопроводности, диффузии, колебаний струны и уравнения Лапласа
Линейное уравнение 2-го порядка с 2-умя неизвестными переменными называется уравнением вида:
AU xx + BU xy + CU yy+ DU x + EU y + FU = где A, B, C, D, E, F, G = const = G – числа
Например:
U tt= 
U xx + const - линейное уравнение
U * U tt + u x = 0 - нелинейное уравнение
Все линейные уравнения с частной производной 2-го порядка принадлежит к одному из следует топов:
1) Параболический тип: теплопроводность и диффузия 
+ 4AC =0
2) Гиперболический тип: - 4AC 
0
Они описали колебания системы и волнения движений
3) Электрический тип:
Эти уравнения характеризуют условия:
- 4AC 
0
Описать установленный процесс
Уравнение теплопроводности
Шаг 1:
L = 2m - степень поверхности - теплопроводности
концы – не теплопроводности
шаг 2:
поместим стержень в устройство е 
= 
C можем считать F внутри стержня = C
шаг 3:
вытащим из устройства стержень
= 0
И подсоединим 2 термоэл. к концам
= 
C 
=5 C
Температурные профили в различные моменты времени
U1 = 
U xx
0< x<L 0< t< 8 (10.1)
Метод разделения переменных
Решение уравнения (10.1) с начальными данными
U (x, 0) = 4 (x)
0 
1
U (0, t) = 0 U (1,t) = 0 (20.2)
0<t<8
(x, t) = 
(x) * 
(t)
И будем подбирать коэффициент 
так чтобы выполнить начальное условие
U(x, t) = X (x) * T (t)
= 
= k
С течением времени температура стержня стремится к 0 то есть к 0, имеет вид:
K=- 
X’’(x) + x(x)=0
Характеристическое уравнение
+ =0
= 
= 
x(x) = A sin λ x+ B cos λ x
T(t) = 
* 
(,A,B – произвольный const)
U (x, t) - (A sin λ x + B cos λ x) (10.2a)
A= 
B = 
U (0, t) U (1, t) =0
B * 
= 0 => B= 0
* A * sin λ =0
Sin λ = 0 => λ= 
n n 
= 
* sin x
(X,T) = * 
* sin * x
(x, t) = 
sin 3 x
(x, t) = 
sin n x (10.3)
n= 1, 2, m,
Построим решение уравнения (10.1) удовлетворяющее начальному условия:
U (x, 0) = ϕ(x)
U(x, t) = 
sin n x (10.4)
Для этого мы подбираем коэффициент так, что:
U (x, 0) = ϕ (x)
Подставим t=0 получим 
:
U(x, t) = 
sin n p x
– коэффициент при разложенbb функции ϕ (x) в ряд Фурье по sin- сам если функция ϕ(x) разложена в ряд Фурье и нечетна, то коэффициент :
A= 2 
И решение запишется в виде (10.4)
(10.4) – громоздка, но это компенсируется ее формативностью.
Поиск по сайту: