Линейные и Квазилинейные уравнения частных производных

Линейные неоднородные уравнения или квазилинейные уравнения первого порядка в частных производных называется уравнение вида

( + ( + ( = z( (8.1)

Это уравнение линейное относительно производной но может быть изменено относительно не известной z.

Если правая часть 0 а коэффициент не зависит от z, то уравнение (8.1) называется линейно однородным

Рассмотрим более подробно квазилинейные уравнения с 2-умя независимыми переменными

P (x, y, z) + Q (x, y, z) = R (x, y, z) (8.1a)

Функцию P, Q, R будем считать не прерывной в рассматриваемой области изменённой переменой и не обращающейся в ноль одновременно

Рассмотрим непрерывное поле :

= P (x, y, z) + Q (x, y, z) 1 + n (x, y, x)

Векторные линии поля, то есть линии, касательно которых в каждой точке имеют направления

= dx + dy + dz,

- =

Поверхность целиком содержащая векторные линии, или хотя бы одну общую точку с поверхностью называется векторной поверхностью

Векторные поверхности характерны тем, что вектор направлен по нормали к поверхности. В точке поверхность ортогональна полю , то есть:

( * ) =0 (8.2)

Если векторная поверхность

+ -

и условие (8.2) принимает вид:

P (x, y, z) * + Q (x, y, z) = R (x, y, z) (8.3)

Если векторная поверхность задаётся:

U (x, y, z) = 0

+ -

И уравнение (8.2) приобретает вид:

P (x, y, z) * + Q (x, y, z) + R (x, y, z) = (8.4)

Так как векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий

То интегрирование уравнения (8.3) или (8.4) сводиться к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий

Составим систему дифференциальных уравнений векторных линий:

- = (8.5)

из 2-ух параметрических семейств векторных линий

Называется характеристиками уравнения (8.3) или (8.4) произвольным способом параметрического семейства

Устанавливая какую – нибудь зависимость Ф () = 0 тогда параллелограмм и

Исключение из системы:

Ф- произвольная функция (непрерывная)

Найдем интеграл квадратного уравнения (8.3) зависящего от произвольной функции

Если требуется найти не произвольный вектор поверхностного поля

= P (x, y, z) + Q (x, y, z) + R (x, y, z)

А поверхностный проход через заданную линию определяется уравнением

То функция (8.6) уже не будет произвольной, определяемая присутствием исключений x, y, z из системы

(x, y, z) =

(x, y, z) =

Которые должны одновременно удовлетворять в задней линии =0, =0

Через которую мы проводим характеристики определяемые уравнениями:

Заметим, что задание станет неопределяемым если задание меньше (x, y, z) = 0

(x, y, z) = 0 является характеристикой, т.к. в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характерные тем самым получим различные интегралы появляющееся через эту линию.

Система дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка