|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Линейные и Квазилинейные уравнения частных производныхЛинейные неоднородные уравнения или квазилинейные уравнения первого порядка в частных производных называется уравнение вида
Это уравнение линейное относительно производной но может быть изменено относительно не известной z. Если правая часть Рассмотрим более подробно квазилинейные уравнения с 2-умя независимыми переменными P (x, y, z) Функцию P, Q, R будем считать не прерывной в рассматриваемой области изменённой переменой и не обращающейся в ноль одновременно Рассмотрим непрерывное поле
Векторные линии поля, то есть линии, касательно которых в каждой точке имеют направления
Поверхность целиком содержащая векторные линии, или хотя бы одну общую точку с поверхностью называется векторной поверхностью Векторные поверхности характерны тем, что вектор ( Если векторная поверхность
и условие (8.2) принимает вид: P (x, y, z) * Если векторная поверхность задаётся: U (x, y, z) = 0
И уравнение (8.2) приобретает вид: P (x, y, z) * Так как векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий То интегрирование уравнения (8.3) или (8.4) сводиться к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий Составим систему дифференциальных уравнений векторных линий:
Называется характеристиками уравнения (8.3) или (8.4) произвольным способом параметрического семейства Устанавливая какую – нибудь зависимость Ф ( Исключение из системы: Ф- произвольная функция (непрерывная) Найдем интеграл квадратного уравнения (8.3) зависящего от произвольной функции Если требуется найти не произвольный вектор поверхностного поля
А поверхностный проход через заданную линию определяется уравнением То функция (8.6) уже не будет произвольной, определяемая присутствием исключений x, y, z из системы
Которые должны одновременно удовлетворять в задней линии Через которую мы проводим характеристики определяемые уравнениями: Заметим, что задание станет неопределяемым если задание меньше
Система дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка Во многих областях науки встречаются системы величин, которые связаны между собой не одним, а сразу несколькими соотношениями, рассматривается задача Коши для систем из двух уравнений с двумя начальными условиями
∞ < x < +∞ 0 < t < ∞
Эта задача может соответствовать определению давления
x - координат t – время Запишем систему уравнений в матричной форме
A =
Введение новой неизвестной функции v = Собственные числа матрицы А являются корнями уравнения: det (A – λ E)=0 или Найдём собственный вектор (A –
P=
P=
Оказалось, что после замены переменных по формуле u=pv для определения v получится очередная простая система 2 уравнения относительно новых
Теперь подставим соотношения (8.8) в системе:
Раньше мы уже видели, что B Заменим (8.9) в развернутой форме:
Получилась система из 2х не связанных уравнений которые решаются независимо их решениями будут:
x- 4t =
x-+4t =
Для получения общего решения нужно выполнить по формуле: u=pv
Решается задание Коши:
Φ(x) = Ψ(x)= Ответ:
Замечание: часто численные методы ориентируются на решение систем уравнений, а значит многие программы для компьютера написаны так чтобы решить систему уравнений первого порядка, поэтому приходится преобразовывать свое уравнение высшего порядка в систему первого порядка. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.016 сек.) |