Уравнение Клеро

Легко интегрировать методом вариации произвольной постоянной

Получим интеграл

φ (x, p, c)=0

Уравнение (2.14) и присоединяя к нему y=x ϕ (p)+Ψ (p) получиv уравнение определяемое исполнимые кривые

При делении на , мы потеряем решение, для которого p- const =>

Если p= const,(2.13) удовлетворяет в случае, если p –ϕ (p) = 0

Отдельно надо рассматривать случаи когда p-ϕ(p)=0 и следовательно при делении на теряется решения p=c, где c – искомое решение

ϕ (y’)≡y’

y= y ϕ (y’)+ Ψ (y’)

y= / y ‘ + Ψ (y’)

Уравнение Клеро

Делаем замену

y’=p

y= xp + Ψ (p)

Дифференцируем по x:

y’= p+ x

X+Ψ’ (p) = 0

В первом случае:

y=cx + Ψ(c) (2.15) - однопараметрическое семейство интегриральных прямых

В втором случае:

y=cx + Ψ(c) (2.15)

y= xp + Ψ(p) (2.16)

x+ Ψ’ (p)=0

Интегральная кривая, определенная уравнением (2.16) является огибающей семетр. прямых (2.15)

Теорема: (Существование и Единство решения)

Уравнение

Со времен Эйлера дифференциальное уравнение приближённо решаются численными методами.

Это связанно с тем, что лишь немногие уравнения интегрируются в квадратурах.

Однако для численного решения нужно быть уверенным в существовании решения и его единственности

Для уравнения достаточно условий существования и единственного решения даны в следствие теореме

Теорема 2.1:

Пусть в уравнении (2.17) функция f(x, y) – непрерывна в прямоугольной области D

D: – a x +a

– b y +b

И удовлетворяет условия Липшица:

– f ( 1

Где N= const

y= (x)

- H +H

Удовлетворяет условию y ()=

Где H< min из таких чисел (a; ; )

M – max f (x, y) в D

Поиск по сайту: