Теорема (5.2) : о наложение решения

Если правая часть уравнения (5.1) представляет собой сумму 2-ух функций:

f(x) = (x) + (x),

а u - частное решение уравнения

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

То функция

Является решение данного уравнения

() ‘’ + ) ‘ + ) ‘= ‘’ + + + () ‘’ + ) ‘ + = (x) + (x) = f(x)

Интегрирование ЛНДУ 2-го порядка и правой частью специального вида:

Рассмотрим ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

y’’ + p y’ + q y = f(x) (5.7)

Можно искать частное решение методом Лагранжа, однако можно найти проще Рассмотрим эти случаи:

1. f(x) =

2. f(x) = ( cos b x + (x) sin b x)

Квазиполином Эйлера

Случай 1: правая часть (5.7) имеет вид:

f(x) = α R

y’’ + p y’ + q y = (5.8)

В этом случае :

= Q n (x) (5.9)

Где n – число = кратности α как корня характеристического уравнения

При этом Q n (x) = x ‘’ + + …. + A ‘’ Ai (i= 0, 1, 2,…)

А) Пусть α – не является корнем характеристического уравнения:

+ p k + q = 0

α r = 0

= Q u (x) *

Б) Пусть α является 2-ух однократным корнем характеристического уравнения:

α = + p k + q = 0

r = 1

= * Q n (x) *

В) Пусть α является 2-ух кратным корнем характеристического уравнения:

α = + p k + q = 0

r = 2

= * Q n (x) *

Случай 2:

Правая часть (2.7) или вид:

f(x) = () cosβx + Q m (x) sin β (x)

Где ) и Q m (x) многочлен степени n и m соответствуют α и β действительного числа

Уравнение (5.7) тогда запишется в виде

y’’ + p y’ + q y = () cos β x + Q m (x) sin x β) (5.10)

= * * (Me (x) * cosβx + Ne (x) * sin β x) (5.11)

r- число равное кратности (α + βi) как корня уравнения:

+ p k + q = 0

Многочлены степени е с неопределенным коэффициентом

Me (x) Ne (x)

е - max (n, m)

Замечание 1: После подстановки функции из (5.11) в (5.10) приравниваем многочлен перед одноименной тригонометрической функцией в левой и правой частях уравнения

Замечание 2: Формула (5.11) сохраняется и при ) 0 или + Q m (x) 0

Замечание 3: Если правая часть уравнения (5.7) есть сумма вида 1 или 2 то для нахождения используется теорема (5.2)

Интегрирование ЛНДУ п-го порядка (n постоянным коэффициентом и правой частью специального вида