|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Задачи 21-30По теме «Введение в анализ» рассмотрите предварительно следующие вопросы о функциях и пределах: 1. Понятие функции, способы задания функции, область ее определения. 2. Основные элементарные функции, их свойства и графики. 3. Понятие предела функции в точке. 4. Понятие бесконечно малой функции и ее свойства: 5. Понятие бесконечно большой функции : ее свойства и связь с бесконечно малой функцией. 6. Теоремы о пределах: предел суммы, разности, произведения, частного функций. 7.Первый замечательный предел:
или 8. Второй замечательный предел: или в другой форме:
где e - иррациональное число: . 9. Эквивалентные бесконечно малые функции. 10. Виды неопределенностей и способы их раскрытия:
11. Понятие непрерывности функции в точке и на промежутке. 12. Теоремы о непрерывных функциях.
Задача. Найти пределы функций:
1. 2. При
3.
4. Решение. Прежде всего заметим, что во всех примерах следует найти предел частного. Как известно, предел частного существует и равен частному пределов, если существуют пределы числителя и знаменателя и предел знаменателя не равен нулю. 1.а) Предел числителя и предел знаменателя дроби найдем, подставив в них предельное значение аргумента: Здесь теорема о пределе частного применима. б) При подстановке в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их пределы равны нулю. Теорема о пределе частного здесь не применима. В данном случае говорят, что имеется неопределенность вида «ноль на ноль» Такая неопределенность раскрывается сокращением дроби на бесконечно малую функцию , в данном случае на , которая обращает числитель и знаменатель в нуль. Для этого нужно сначала разложить на множители числитель и знаменатель дроби. Напомним формулу разложения квадратного трехчлена на множители: , где и -корни квадратного трех- члена, которые находим из уравнения . Разложим на множители числитель данной дроби: ; Следовательно: Разложим на множители знаменатель дроби: ;
Следовательно: 4х2+15х-4=4(х+4)(х-1 /4)=(х+4)(4х-1). Тогда в) При числитель и знаменатель дроби также стремятся к бесконечности. В этом случае теорема о пределе частного неприменима. Говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность» Чтобы ее раскрыть, каждый член числителя и знаменателя дроби разделим на в наивысшей для данного примера степени (то есть на ), от чего величина дроби не изменится. Тогда получим: так как Замечание. Полезно заметить и запомнить, что предел отношения многочленов при равен отношению их коэффициентов при старших степенях. 2. При подстановке предельного значения в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их пределы равны нулю. Таким образом, перед нами вновь неопределенность вида которая раскрывается сокращением дроби на бесконечно малую функцию . Для этого предварительно умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное иррациональному выражению в знаменателе, то есть на : При умножении сопряженных выражений в знаменателе было использовано тождество З.Для решения примеров под номером 3 используется первый замечательный предел, с помощью которого раскрываются некоторые неопределенности вида Примеры этого пункта можно решать также с помощью эквивалентных бесконечно малых функций. Две бесконечно малые функции и называются эквивалентными в точке , если предел их отношения в этой точке равен 1: значит ~ при Например, при : ~ ; ~ ; ~ ; ~ . При вычислении пределов бесконечно малые множители можно заменять на эквивалентные им.
4.Для раскрытия неопределенностей вида () применяется второй замечательный предел: где e - иррациональное число, то есть бесконечная непериодическая десятичная дробь, ее приближенное значение: e ≈ 2,7 Найдем Очевидно, что
Тогда
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |