АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Задачи 21-30

Читайте также:
  1. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  2. I. Ситуационные задачи и тестовые задания.
  3. II. Основные задачи и функции
  4. II. ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ И ПРИНЦИПЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ВОИ
  5. II. Цель и задачи государственной политики в области развития инновационной системы
  6. III. Цели и задачи социально-экономического развития Республики Карелия на среднесрочную перспективу (2012-2017 годы)
  7. VI. ДАЛЬНЕЙШИЕ ЗАДАЧИ И ПУТИ ИССЛЕДОВАНИЯ
  8. Аналитические возможности, задачи и основные направления анализа СНС
  9. БАЛАНС КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА, ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ЕГО АНАЛИЗА
  10. Билет 1. Предмет истории как науки: цели и задачи ее изучения
  11. Билет №17. Внутренняя политика Ивана IV Грозного. Задачи, этапы, итоги.
  12. Биофизика – как наука. Практические задачи. Методы исследования

По теме «Введение в анализ» рассмотрите предварительно сле­дующие вопросы о функциях и пределах:

1. Понятие функции, способы задания функции, область ее опре­деления.

2. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

3. Понятие предела функции в точке.

4. Понятие бесконечно малой функции и ее свойства:

5. Понятие бесконечно большой функции :

ее свойства и связь с бесконечно малой функцией.

6. Теоремы о пределах: предел суммы, разности, произведения, частного функций.

7.Первый замечательный предел:

 

или

8. Второй замечательный предел:

или в другой форме:

где e - иррациональное число: .

9. Эквивалентные бесконечно малые функции.

10. Виды неопределенностей и способы их раскрытия:

 

11. Понятие непрерывности функции в точке и на промежутке.

12. Теоремы о непрерывных функциях.

 

Задача. Найти пределы функций:

 

1. 2.

При

 

3.

 

4.

Решение. Прежде всего заметим, что во всех примерах следует найти предел частного. Как известно, предел частного существует и равен частному пределов, если существуют пределы числителя и зна­менателя и предел знаменателя не равен нулю.

1.а)

Предел числителя и предел знаменателя дроби найдем, подставив в них предельное значение аргумента:

Здесь теорема о пределе частного применима.

б)

При подстановке в числитель и знаменатель дроби убежда­емся, что их пределы равны нулю. Теорема о пределе частного здесь не применима. В данном случае говорят, что имеется неопределенность вида «ноль на ноль»

Такая неопределенность раскрывается сокращением дроби на бесконечно малую функцию , в данном случае на , которая обращает числитель и знаменатель в нуль. Для этого нужно сначала разложить на множители числитель и зна­менатель дроби.

Напомним формулу разложения квадратного трехчлена на мно­жители: , где и -корни квадратного трех-

члена, которые находим из уравнения .

Разложим на множители числитель данной дроби:

;

Следовательно:

Разложим на множители знаменатель дроби:

;

Следовательно: 4х2+15х-4=4(х+4)(х-1 /4)=(х+4)(4х-1).

Тогда в)

При числитель и знаменатель дроби также стремятся к бесконечности. В этом случае теорема о пределе частного неприме­нима. Говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность»

Чтобы ее раскрыть, каждый член числителя и знаменателя дроби разделим на в наивысшей для данного примера степени (то есть на ), от чего величина дроби не изменится. Тогда получим:

так как

Замечание. Полезно заметить и запомнить, что предел отношения многочленов при равен отношению их коэффициентов при старших степенях.

2.

При подстановке предельного значения в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их пределы равны нулю. Таким образом, перед нами вновь неопределенность вида

которая рас­крывается сокращением дроби на бесконечно малую функцию . Для этого предварительно умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное иррациональному выражению в знамена­теле, то есть на :

При умножении сопряженных выражений в знаменателе было использовано тождество

З.Для решения примеров под номером 3 используется первый замечательный предел, с помощью которого раскрываются некоторые неопределенности вида

Примеры этого пункта можно решать также с помощью эквива­лентных бесконечно малых функций. Две бесконечно малые функции и называются эквивалентными в точке , если предел их отношения в этой точке равен 1:

значит ~ при

Например, при : ~ ; ~ ;

~ ; ~ .

При вычислении пределов бесконечно малые множители можно заменять на эквивалентные им.

 

 

4.Для раскрытия неопределенностей вида () применяется второй замечательный предел:

где e - иррациональное число, то есть бесконечная непериодическая десятичная дробь, ее приближенное значение: e ≈ 2,7

Найдем

Очевидно, что

 

Тогда


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)