Рівняння

y ’+ p (x)⋅ y = q (x),

в якому невідома функція y і її похідна y ′ входять до рівняння у першому

степеню і не множаться між собою, p (x) і q (x) – неперервні на деякому проміжку функції, називається лінійним диференціальним

рівнянням першого порядку.

Розв'язок y (x) цього рівняння шукають у вигляді добутку двох невідомих

функцій u (x) і v (x), тобто

y = u ⋅ v.

Тоді похідна функції приймає вигляд

y ′ = u ′ v + v ′ u.

Значення y (x) і y ′ підставляють у рівняння y ’+ p (x)⋅ y = q (x) і отримують вираз:

u ′ v + uv ′+ p (x) uv = q (x)

або u ′ v + u [ v ′+ p (x) v ]= q (x).

Функцію v визначають із умови, що вираз в дужках дорівнює нулю, тобто розв'язують рівняння, яке буде завжди з відокремлюваними змінними:

Потім значення v підставляють у рівняння u ′ v = q (x) і з отриманого диференціального рівняння теж з відокремлюваними змінними знаходять загальний розв'язок u = u (x, C). Значення v і u підставляють у рівність y = u ⋅ v і визначають загаль-

ний розв'язок лінійного диференціального рівняння.

Поиск по сайту: