АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Загальні поняття та означення диференціальних рівнянь першого порядку

Читайте также:
  1. I. Загальні положення
  2. I. Розділ Загальні основи суспільного виробництва та економічного розвитку
  3. II. Поняття соціального процесу.
  4. А) Означення множини. Операції над множинами
  5. Абезпечення громадського порядку і громадської безпеки.
  6. Адміністративна структура БМР має три органи: загальні збори акціонерів, рада директорів і правління.
  7. Азербайджанська Республіка: загальні відомості
  8. Акти застосування права: поняття, ознаки, види, структура
  9. Акти офіційного тлумачення (інтерпретаційні акти) – це правові акти, прийняті компетентними державними органами, що містять роз’яснення норм права або порядку їх застосування.
  10. Акцизний податок: поняття, платники, об'єкт, підакцизна продукція.
  11. Базові поняття
  12. Валовий внутрішній продукт: поняття та методи розрахунку

Дифенціальними рівняннями першого порядку називають рівняння виду (1), яке зв’язує незалежну змінну х, невідому функцію та її похідну .

Рівняння (1) може не містити х або у, але обов’язково має містити похідну .

Диференціальне рівняння (1), яке не розв’язане відносно похідної називають неявним диференціальним рівнянням. Якщо (1) можна розв’язати відносно похідної , то його записують у вигляді (2) і називають рівнянням першого порядку, розв’язаним відносно похідної або рівнянням в нормальній формі. Рівняння (2) можна ще записати так або . Помноживши останнє на деяку функцію отримаємо рівняння першого порядку в дифенціальній формі (3).

Рівняння (3) має рівноправні х та у, тому кожну із них можна розглядати як функцію іншої.

Прилади диференціальних рівнянь:

І -

ІІ -

ІІІ -

Знаходження невідомої функції, що входить в диференціальні рівняння називають розв’язанням або інтегруванням цього рівняння.

Розв’язком диференціального рівняння (2) на деякому інтервалі називається диференційована на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в рівняння (3) обертає його в тотожність по х на , тобто .

Наприклад, функція є розв’язком рівняння .

 

 

2. Теорема Коші

Графік розв’язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою цього рівняння. Рівняння (2) має розв’язок за таких умов:

Теорема Коші(про існування і єдність розвязку)

Нехай функція і її частинна похідна визначені і неперервні у відкритій області G площини і існує така точка з координатами , тоді існує єдиний розв’язок рівняння (2), який задовольняє умову при , тобто .

Ця теорема дає достатні умови існування єдиного розв’язку рівняння (2).

Геометрична теорема Коші стверджує, що через кожну точку проходить єдина інтегральна крива. Якщо зафіксувати і змінювати не виходячи при цьому з області G, то діставатимемо різні інтегральні криві.

Отже, ми побачили, що рівняння (2) має безліч розв’язків. Знаходження розв’язку рівняння , що проходить через задану точку з координатами називається розв’язком задачі Коші.

у

 
 

 

 


 

 

х

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)