Интегрирование правильных рациональных дробей

Пример 1: Вычислить интеграл .

Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители.

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые степени и коэффициенты при одинаковых степенях равны:

Подставим найденные коэффициенты в разложение

Окончательно получим:

Пример 2: Вычислить интеграл .

Разложим дробь на простейшие

Приравняем числители:

Окончательно получим:

Пример 3: Вычислить

Заключение: Всякая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях, причём в результате получаются многочлены, дробно – рациональные функции, логарифмы и арктангенсы.

Замечание: Чтобы интегрирование функции (13) довести до конца, нужно знать все корни многочлена Q_m (x) и их кратности. В принципе метод разложения на сумму простейших дробей применим всегда, но он связан часто с необходимостью решать алгебраические уравнения высоких степеней, что не всегда возможно..

Поиск по сайту: