Необходимое и достаточное условие интегрируемости

Теорема: Д ля того, чтобы ограниченная на [a,b] функция была интегрируемая, необходимо и достаточно, чтобы предел разности сумм Дарбу при λ→0 был равен нулю.

, т. е.:

Доказательство:

Необходимость: Пусть f(x) интегрируема на [a,b]:

I=

Достаточность: Пусть условие выполняется, тогда f(x) интегрируема.

|=>

Для разбиения τ выполняется: . Тогда выполняются следующие неравенства:

, ч. т. д.

Если обозначить колебание M_i – m_i функции в i -м частичном промежутке через ω_i, то будем иметь

и условие существования определенного интеграла может быть переписано так:

В этой форме оно обычно и применяется.

Поиск по сайту: